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2015年 算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズBEE トライアル 予想解答速報


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算数オリンピック トライアル
<解答>
問題1 
問題2 2,4,7,8,16
問題3 11月29日
問題4 728163549
問題5 1g,4g,5g,3g,2g,6g
問題6 167334
問題7 20
問題8 19回
問題9 8通り
問題10 Aが628cm2大きい
問題11 B男,E男,D女,C女,A男,F女
問題12 70cm2

<解説>
問題1

上のように記号をふって説明します。
まずは、すでにわかっている数より、カ=4 がわかります。
「ウ×イ」の一の位が1となっていますが、一の位が1になる1けたどうしのかけ算は「3×7」「7×3」「9×9」のみなので、イとウの組合せはこれのいずれかだとわかります。
イが7だとすると、「エ×イ」の一の位が4なので エ=2 となりますが、「ア7×2」の答えを600以上にすることはできないのでありえません。
イが9だとすると、「エ×イ」の一の位が4なので エ=6 となりますが、「ア9×6」の答えを600以上にすることはできないのでありえません。
よって、イ=3 と決まり、ウ=7、エ=8 も決まります。
エ×イ=8×3=24 なので「エ×ア+2=6オ」となります。
エ=8 は決まっているので、この式を満たすアとオは ア=8、オ=6 のみです。
以上より、この計算は「83×78」の筆算になることがわかります。

問題2
まず、AとBが持っているそれぞれのカードの約数(1を除く)を書きならべると以下のようになります。(同じ数がたてにならぶようにしています)
 3 →   3
32 → 2,  4,    8,     16,        32
42 → 2,3,  6,7,    14,      21
54 → 2,3,  6,    9,      18,   27
63 →   3,    7,  9,         21

14 → 2,      7,    14

もしAが42を出すと、次にBが14を出し、Aは2や7のカードを持っていないのでBの勝ちが決まります。
よって、Aが42以外のカードを出したときにBが勝てるようなカードを考えればよいことになります。
しかし、もしBが3を約数に持つカード(6,9,18,21,27)を持っていると、そのカードをBが出しても次にAが3を出すことがあるのでBの勝ちは決まりません。
ですから、Bが必ず勝つために必要なカードは3を約数に持たない「2,4,7,8,16」の5通りとなります。

問題3
日にちの数字の和の最大値は「29日 → 2+9=11」で、和を12以上にすることはできません。
ですから、12月の中に問題文の条件を満たす日付はなく、11月29日が問題文の条件を満たす1年で最後の日付になります。

問題4
九九の答えのうち、2けたになるもので0を使っていない数は次の通りです。
12,14,15,16,18,21,24,25,27,28,32,35,36,42,45,48,49,54,56,63,64,72,81
このうちで、9を使っているものは「49」しかありません。
よって、9けたの整数の末尾の2けたは49と決まります。
また、7を使っているものは「27」と「72」のみなので、もし27が9けたの整数の途中にあるとその下の位に入れられる数がなくなります。
ですから、9けたの整数の頭の2けたは72と決まります。
2の下の位にあてはまる数は1か8ですが、1を入れると「721635○49」「7218○○○49」などとなって条件通りの整数を作ることができません。
Aに8を入れると「728163549」を作ることができます。

問題5
「おもりを置くたびに,天びんの傾きが左右入れかわりました」とあるので、「左の皿に乗っているおもりの重さの和」(以下「左」と書きます)と「右の皿に乗っているおもりの重さの和」(以下「右」と書きます)を比べたときに、重くなるのが「右」→「左」→「右」→「左」→「右」→「左」とかわればよいことがわかります。
もし1gのおもりを途中で置くとすると、それまでで「左」と「右」の差は1g以上あるはずなので、1gを置いても傾きが入れかわることはありえません。
よって、1gのおもりは1番目にA君が置いたことがわかります。
A君は2gも置いていますが、もしその2gを3番目に置いたとすると、2番目にB君が何を置いたとしても傾きが入れかわることはありえません。
よって、2gのおもりは5番目に置かれたことがわかります。
ここまでの情報を図に整理すると次のようになります。

さて、ここで点線のわくで囲まれた部分に注目してみましょう。
5番目にA君が2gを置いて天びんの傾きがかわるようにするためには、「1番目+3番目」が「2番目+4番目」より1gだけ軽くなるようにしなければいけません。
そのようにできるのは、「1番目+3番目=1g+5g」、「2番目+4番目=4g+3g」のときだけです。(問題文に「4gが3gより先に置かれた」とあるので、2番目が4g、4番目が3gとなります)
よって、6番目は残っている6gとなり、図は次のようになります。


問題6
問題文の条件の通りに式を立てると、
 ABCDEF=ABC×DEF×n (nには1以上の整数が入る)……★
となります。
「ABCDEF」を変形すると
ABCDEF=ABC×1000+DEF
となりますが、★より「ABCDEF」は「ABC」の倍数でなくてはいけないので、「DEF」も「ABC」の倍数とわかります。(ア)
また、同様に「ABCDEF」は「DEF」の倍数でなくてはいけないので、「ABC×1000」も「DEF」の倍数とわかります。(イ)
上の(ア)と(イ)を満たすためには、「ABC=DEF」「ABC×2=DEF」「ABC×5=DEF」のいずれかの関係を満たさなくてはいけません。
ここからは場合分けして考えます。

● ABC=DEFのとき
ABCDEF = ABC×1000+DEF = ABC×1000+ABC = ABC×1001
★より、DEF×n=1001 となる「DEF×n」は「143×7」のみなので、「ABCDEF=143143」。
● ABC×2=DEFのとき
ABCDEF = ABC×1000+DEF = ABC×1000+ABC×2 = ABC×1002
★より、DEF×n=1002 となる「DEF×n」は「501×2」「334×3」「167×6」があるが、「DEF」は2の倍数でなくてはいけないので考えられる「DEF」は334のみ。
ABC=334÷2=167なので、「ABCDEF=167334」。
● ABC×5=DEFのとき
ABCDEF = ABC×1000+DEF = ABC×1000+ABC×5 = ABC×1005
★より、DEF×n=1005 となる「DEF×n」は「335×3」「201×5」があるが、「DEF」は5の倍数でなくてはいけないので考えられる「DEF」は335のみ。
しかし、そのときのABCは ABC=335÷5=67 と2けたになってしまうので、これは不可。

以上より、「ABCDEF」として考えられるのは143143と167334のみで、最大は167334となります。

問題7
Aが7個目の数字でビンゴになるためには、Aがはじめにリーチになった列でビンゴにならなくてはいけません。
また、Aは6でビンゴになっていないので、Aがビンゴになった列は下の図の矢印で示した列のどれかです。

さて、もし6個目の数字をのぞいて1〜5個目と7個目の数字だけで考えると、Bはリーチができるはずです。
以上のことから、上の図の矢印で示したどこかの列と6を合わせて、Bのカードでリーチができるものをさがします。
すると、赤の矢印をつけた列の5,9,13,17,21と6で、Bはリーチができます。
このとき、Bはあと「20」が出ればビンゴなので、6個目に出た数字は「20」です。

問題8
2015から逆にたどって1を作ることを考えます。作業の回数を少なくしたければ数をなるべく早く小さくすればよく、そのためには偶数ができたときに2でわればよいので、作業は下のようになります。
2015→2014→1007→1006→503→502→251→250→125→124→62→31→30→15→14→7→6→3→2→1
上のように19回の作業で1にできるので、1をスタートとすると19回で2015を作ることができます。

問題9
「Aで割るとBあまり、Cで割るとDあまる」というような数はAとCの最小公倍数ごとにあらわれます。
(例:2で割ると1あまり、5で割ると2あまる数を小さい順にならべると「7,17,27,……」と、公差10(2と5の最小公倍数)の等差数列になる)
よって、問題文の条件に当てはまる数は、7と11と13の最小公倍数の1001ごとにあらわれます。
条件に当てはまる数のうちの最も小さい数をX、最も大きい数をYとすると、Xの1つ前の数は999以下、Yの1つ後の数は10000以上でなくてはいけません。
よって、Xは1000以上2000以下、Yは8999以上9999以下の数とわかります。
さらに、XとYの差は 1001×(8−1)=7008 なので、8999−7008=1991 より、その条件にあてはまるXは
1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000
までしぼれます。
ここで、問題文に「○,△,□に入る1以上の整数の組み合わせ」と書かれているので、7の倍数、11の倍数、13の倍数は除かなくてはいけないことに注意しましょう。
1991は11の倍数、1995は7の倍数なので、答えは 10−2=8(通り) です。

問題10

上の図のように正七角形の外側にも内側にも7個ずつの正三角形をかくことができます。
どちらの正三角形も合同、つまり面積は等しいので、求めるAとBの差はこれらの正三角形を除いた部分で考えても同じことになります。
(7−2)×180−60×2×7=60(度)……Bから赤い正三角形を除いてできる7個のおうぎ形の中心角の和
360+180×7−60×2×7=780(度)……Aから青い正三角形を除いてできる7個のおうぎ形の中心角の和
10×10×3.14×(780−60)÷360=628(cm2)
よって、Aの方が628cm2大きいことがわかります。

問題11
まず、CとEの話より、Cは女、Eは男であることがわかり、ここまでの情報を図に整理すると次のようになります。

そして、Bの発言よりBがEより年長者(全体でも最年長者)であることもわかります。ここまでの情報を図に整理すると次のようになります。

残りの男兄弟1人はA、D、Fのうちのだれかで、上の図の(ア)(ウ)(エ)(カ)のいずれかに当てはまります。

● 残りの男兄弟がAのとき
Aが当てはまるのは(ウ)で、Dが(オ)、Fが(イ)となるとすべて条件に合います。
● 残りの男兄弟がDのとき
Dが当てはまるのは(エ)ですが、Aの話が守れなくなります。
● 残りの男兄弟がFのとき
Fが当てはまるのは(ウ)ですが、Aの話が守れなくなります。

以上より、残りの男兄弟はAと決まり、そのときの図は次のようになります。


問題12
問題文には「大立方体から,小立方体を10個取り除いたときに」と書かれていますが、この問題は「小立方体を17個つなげる」と考えた方がわかりやすくなります。
小立方体1個の表面積は6cm2で、そのうちの1つの面に小立方体を1個つなげると、表面積は 6−1+5=10(cm2) と4cm2だけ増えます。
これ以降も、表面積をできるだけ増やすように立方体をつなげていくと、1個つなげるたびに表面積は4cm2ずつ増えていきます。
よって、小立方体を17個つなげたときにできる表面積として考えられる最大値は、6+4×(17−1)=70(cm2) です。
そして、例えば下の図のように17個の立方体をつなげるとその最大値となるので、答えは70cm2となります。

ジュニア算数オリンピック トライアル
<解答>
問題1 
問題2 
問題3 17
問題4 6
問題5 (問い1)2g (問い2)18g
問題6 B男,E男,D女,C女,A男,F女
問題7 265314
問題8 10368
問題9 14通り
問題10 60cm2
問題11 ハート・4
問題12 70cm2

<解説>
問題1

上のように記号をふって説明します。
まずは、すでにわかっている数より、カ=5、 コ=11−4=7、 ケ=10−1−1=8 がわかります。
「オ145」は5の倍数なので、イかエが5であることがわかりますが、「キク87」は5の倍数でないので、エが5であることがわかります。
「6アイ」がどんな数であっても「6アイ×5」の答えの千の位は3しかありえないので、オ=3 です。
以上より、6アイ=3145÷5=629 となります。
「ウ×9」の一の位が7なので、ウ=3 と決まり、答えは「629×35」の筆算になることがわかります。

問題2

上のように記号をふって説明します。
まず、「オカ」は5の倍数なので、カ=5 がわかります。
また、「イウ」「エオ」「オク」「クケ」は偶数の倍数なので、それらの一の位であるウ、オ、ク、ケそれぞれに2、4、6、8のどれかが当てはまります。
よって、残りのア、イ、エ、キそれぞれには1、3、7、9のどれかが当てはまります。
「アイ」は7の倍数で、1、3、7、9を使って作ることができる7の倍数は91のみなので、ア=9、イ=1 がわかります。
「イウ」は6の倍数で、十の位(イ)が1と決まっているので、ウには2か8が当てはまります。
また、「イオ」は3の倍数で、十の位(イ)が1と決まっているので、オにも2か8が当てはまります。
このことから、4と6はクとケにしか入らないことが決まり、「クケ」は4の倍数なので、ク=6、ケ=4 となります。
これが決まると、「キク」は3の倍数なので、キ=3、エは残りの数なので7とわかり、「エオ」は4の倍数なので、エ=2、ウ=8 も決まります。

問題3
条件@より、B+C+D+E+F+G+H+I=109 ……@
条件Aより、B+C+D+G=50 ……A
よって、A−@より、E+F+H+I=59 ……B です。
たて、横、ななめのどの列の3個の和も等しいので、B+E+H、C+F+I、D+E+F、G+H+I の答えはいずれも等しくなります。
また、これら4つの式の和は@の式とBの式の和と等しくなります。
よって、1列の和は、(109+59)÷4=42 となります。
A+B+C、A+D+G の答えはいずれも42で、これら2つの式の和からAの式を引いたものがA2つ分になります。
A=(42×2−50)÷2=17

問題4
2015=5×13×31 と素因数分解できます。
よって、はじめの□は5、次の3つの□の和は13、次の5つの□の和は31となります。
1から10までの10個の整数の和は55で、9個の□に入る数の和は、5+13+31=49 なので、使わなかった1個の整数は 55−49=6 です。

問題5
(問い1)
「A+B」と「C」の差は1g以内、「A+B」と「D」の差も1g以内ですが、「C」は「D」より2g以上軽くなくてはいけません。
これらの条件をすべて満たすのは、「C」が「A+B」よりも1g軽く、「A+B」が「D」よりも1g軽いときのみです。
よって、CとDの重さの差は2gです。
(問い2)
図2に注目すると、「A+B」は「D」より1g軽く、AはDより10g軽いので、Bの重さは 10−1=9(g) とわかります。
AはBより軽いという条件があるので、Aは8g以下ですが、もしAが7gだと、A+B+C+D=7+9+15+17=48(g) となって4つの重さの合計が50gより軽くなってしまいます。
Aが8gのときは、A+B+C+D=8+9+16+18=51(g) となって条件に合います。
以上より、Dの重さは18gです。

問題6
まず、CとEの話より、Cは女、Eは男であることがわかり、ここまでの情報を図に整理すると次のようになります。

そして、Bの発言よりBがEより年長者(全体でも最年長者)であることもわかります。ここまでの情報を図に整理すると次のようになります。

残りの男兄弟1人はA、D、Fのうちのだれかで、上の図の(ア)(ウ)(エ)(カ)のいずれかに当てはまります。

● 残りの男兄弟がAのとき
Aが当てはまるのは(ウ)で、Dが(オ)、Fが(イ)となるとすべて条件に合います。
● 残りの男兄弟がDのとき
Dが当てはまるのは(エ)ですが、Aの話が守れなくなります。
● 残りの男兄弟がFのとき
Fが当てはまるのは(ウ)ですが、Aの話が守れなくなります。

以上より、残りの男兄弟はAと決まり、そのときの図は次のようになります。


問題7
@として考えられる数は次の5通りです。
(※下線部は移す3個の数字を表しています)
126345 → 345126
126345 → 634125 または 125634
26345 → 263145 または 145263

また、Bとして考えられる数は次の5通りです。
(※下線部は移す3個の数字を表しています)
321654 → 654321
32154 → 654321
65321 → 654321
32654 → 654321
65421 → 654321

以上より、@として考えられる5通りのいずれかから2回の作業をして、Bとして考えられる5通りのいずれかを作ればよいことがわかります。
これを探すのは多少時間がかかりますが、次のポイントに注意すると調べやすくなります。
【ポイント1】 Bの5通りのいずれも「左はしが3か6であり、右はしが4か1である」ということ
【ポイント2】 AのどこかにBの前3けたか後3けたがなければいけない。つまり、@から1回移したときに「321」「654」「632」「154」「653」「214」「326」「541」「365」「421」のいずれかができていなければいけない。

これらに注意して探すと、@ 263145 → A 265314 → B 653214 が見つかります。よって、答えは「265314」です。

問題8

上のように記号をふって説明します。
シはくり上がってできる数なので1と決まり、それによって コ=9、ス=0 となることもわかります。
「アイ×ウ=9サ」という式で、ア、イ、ウ、サがすべて偶数になるのは次の3通りのみです。
46×2=92  48×2=96  24×4=96
しかし、「アイ」が46や48だとすると、「アイ×オ=カキ」となる式を作ることができません。
よって、ア=2、イ=4、ウ=4、サ=6 とわかります。
次に、「24×エ=クケ」について考えます。エ、クが奇数、ケが偶数となるのは「24×3=72」のみです。
さらに、「24×オ=カキ」の式でオ、カ、キがすべて偶数となるのは「24×2=48」のみです。
以上より、答えは 24×432=10368 となります。

問題9
数のならびを「ABCDE」とします。
3のとなりにならぶ数は1か5しかないので、3をどの場所にならべるかで場合分けします。

● 3をAの場所にならべるとき
できるならびは「31425」「31524」「35142」「35241」の4通りです。
● 3をBの場所にならべるとき
できるならびは「13524」「53142」の2通りです。
● 3をCの場所にならべるとき
できるならびは「41352」「25314」の2通りです。
● 3をDの場所にならべるとき
3をBの場所にならべるときと同じで、2通りです。
● 3をEの場所にならべるとき
3をAの場所にならべるときと同じで、4通りです。

以上より、4×2+2×3=14(通り) あります。

問題10

上の図1で色をつけた2つの三角形(三角形EBFと三角形GDH)に注目します。
この2つはおたがいの三角形の内角が等しいので、相似(拡大・縮小)の関係になっていることがわかります。
図2のように向きをそろえると、BE=3+7−5=5(cm)、DG=3cm なので、BF:DH=5:3 とわかります。
BFとDHの長さの差はAHとFCの長さの差と等しいので、図2の D−B=A は 5−1=4(cm) にあたります。
よって、@=2cm で、DH=B=6cm、BF=D=10p とわかります。
台形EFGHの面積は長方形ABCDの面積から周りの4つの三角形の面積をひいたものになります。
(3+7)×(5+6)−(5×5÷2+6×3÷2+1×7÷2+10×5÷2)=110−56=60(cm2)

問題11

上のように記号をふって説明します。
ケとサに入るのは「ダイヤ2」か「クラブ3」です。コに入るのは「ダイヤ2」か「クラブ4」ですが、「ダイヤ2」はケかサに入るので、コに入るものは「クラブ4」しかありえないことがわかります。
もし、ケが「ダイヤ2」だとするとクに入るのは「ダイヤ4」か「クラブ2」となりますが、どちらもすでに使っているため、ありえません。
よって、ケが「クラブ3」、サが「ダイヤ2」と決まり、ここまでで下の図のようになります。

ここまで決まると、ク、キ、エ、オ、カ、ウ、イ、アの順で、入るカードがすべて1通りに決まります。
すべてのカードのマークと数字は下の図のようになり、アには「ハート4」が入ります。


問題12
問題文には「大立方体から,小立方体を10個取り除いたときに」と書かれていますが、この問題は「小立方体を17個つなげる」と考えた方がわかりやすくなります。
小立方体1個の表面積は6cm2で、そのうちの1つの面に小立方体を1個つなげると、表面積は 6−1+5=10(cm2) と4cm2だけ増えます。
これ以降も、表面積をできるだけ増やすように立方体をつなげていくと、1個つなげるたびに表面積は4cm2ずつ増えていきます。
よって、小立方体を17個つなげたときにできる表面積として考えられる最大値は、6+4×(17−1)=70(cm2) です。
そして、例えば下の図のように17個の立方体をつなげるとその最大値となるので、答えは70cm2となります。

キッズBEE トライアル
<解答>
もんだい1 9月29日生まれ
もんだい2 58番
もんだい3 オ
もんだい4 (ア)
もんだい5 14試合
もんだい6 黄
もんだい7 イ
もんだい8 8cm
もんだい9 126m

<解説>
もんだい1
「月」だけで考えると、いちばん大きなたん生日ナンバーは9です。
また、「日」だけで考えると、いちばん大きなたん生日ナンバーは2+9=11です。(1か月は多くても31日までなので、十の位を3にすると一の位が1までしかありえないためにたん生日ナンバーが小さくなってしまいます)
よって、いちばん大きなたん生日ナンバーは、9月29日生まれです。

もんだい2
ゼッケン1〜9の人はいないので、いちばん最後にもらう人のゼッケンの番号は、9+50=59(番) です。
たかしくんの番号はその一つ前なので、58番になります。

もんだい3
左の天びんを見ると、エをのせていないのに天びんがかたむいているので、エは重さのちがうボールではありません。
右の天びんを見ると、ウをのせていないのに天びんがかたむいているので、ウは重さのちがうボールではありません。
また、アやイは、重い方にかたむいていたり軽い方にかたむいていたりしているので、アとイも重さのちがうボールではありません。
よって、重さのちがうボールはオです。

もんだい4
まずは、下の図の◇をつけた部分を見ましょう。この部分のひもは手前がわに見えているので、うらから見るとうらがわを通るように見えるはずです。
(ア)〜(エ)のうちでそのようになっているのは(ア)と(エ)だけです。
次に、紙をうらがえしたあとに、ひもの通っていないあな(図の黄色のあな)を(ア)や(エ)に合わせようとすると、(ア)は正しいですが(エ)はひもの向きがおかしいことがわかります(ひものはしが紙の上下にくるはずです)。
よって、正しいのは(ア)です。


もんだい5
1つの試合には2つのチームがさんかします。
ですから、試合数の合計は、24+15+12+17+32=100 の半分の50試合だとわかります。
1試合するごとにどこか1つのチームが勝つので、3つのチームの勝ち数の合計も50になるはずです。
よって、Cチームが勝った数は 50−24−12=14(試合) です。

もんだい6
次の3つの場合に分けて考えてみましょう。
● 黄のふうとうが正しい場合
黄のふうとうには1000円が入っているので、青と赤に5000円と10000円が入っていることになりますが、そうすると赤のふうとうに書いてあることも正しくなってしまいます。

● 青のふうとうが正しい場合
赤のふうとうに1000円が入っていることになるので、青のふうとうに5000円が入っていることになります。のこりの黄のふうとうには10000円が入っていることになり、すべてじょうけんに合います。

● 赤のふうとうが正しい場合
青のふうとうに10000円が入っていることになるので、赤のふうとうに5000円が入っていることになります。すると、のこりの黄のふうとうに1000円が入っていることになり、黄のふうとうに書いてあることも正しくなってしまいます。

これらのことから、青のふうとうが正しいとわかり、10000円は黄のふうとうに入っているとわかります。

もんだい7
マークには○、×、◇、◎の4しゅるいがあり、たてにもよこにも同じマークが入らないようにしなくてはいけないので、どのマークも4つずつ入ることになります。
ア〜オに書かれている○、×、◇、◎の数の合計をみると、○5こ、×6こ、◇5こ、◎5こ となっていて、×が2こよけいになっています。
×が2こ書かれているのはイだけなので、あまるのはイだとわかります。

(さんこう)
上のせつめいのように、じっさいのならべ方を考えなくても答えがわかりますが、じっさいにならべてみると下の図のようになります。


もんだい8

上の図1のように、もとの長方形の辺に赤と青の色をつけてみます。
図2の図形のまわりの長さは60cmですが、赤と青の長さの合計は76cmなので、図2の図形の内部にある2つの線の長さの合計は 76−60=16(cm) とわかります。
この2つの線はどちらも、もとの長方形のたての長さと等しいので、長方形のたての長さが 16÷2=8(p) であることがわかります。

もんだい9

まずは、このおそうじロボットのはば(直径)をもとめてみましょう。
図1の青い部分を見ると、16mはロボットのはばの8つ分とわかります。
よって、ロボットのはばは 16÷8=2(m) です。
ですから、ロボットの真ん中からロボットの外がわまでの長さ(半径)は1mです。
このことがわかると、赤い線のそれぞれの部分の長さが下の図2のようにわかります。

すべてたすと、合計は126mになります。

ライン

いたもと算数教室

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