２０１７年　算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズBEE　トライアル　解答・解説

算数オリンピック　トライアル
＜解答＞
問題１　(1)　１９　　(2)　１０
問題２　６６人
問題３　１０６０円
問題４　２５cm2
問題５　(1)　１３個　　(2)　１１３個
問題６　４５通り
問題７　（３５７×５６５の筆算）
問題８　１５７
問題９　３４
問題10　(1)　１２通り　　(2)　１，３，５，７，９　または　１，５，３，７，９　　(3)　７個

＜解説＞
問題１
下のようにア〜シを決めます。

(1)　１から２０までの整数の和は、１＋２＋３＋……＋２０＝(１＋２０)×２０÷２＝２１０　です。
たてに○がならんでいる列（上図の太線の列）は５列あります。その５列それぞれの和は等しくなるので、１列分の和は、２１０÷５＝４２　です。
ななめの列にある、１２、１１、Ａの和も４２となるので、Ａ＝４２−(１２＋１１)＝１９　です。

(2)　１列の和が４２であることを考えると、
ア＋イ＝２６　　サ＋シ＝１８　　イ＋サ＝２２　　がわかります。
この３つの式より、ア＋シ＝２６＋１８−２２＝２２　と求められます。

また、エ＋キ＝１６　　ク＋コ＝２１　　エ＋コ＝４２−(ア＋シ＋１１)＝９　　がわかるので、
キ＋ク＝１６＋２１−９＝２８　と求められます。
以上より、カ＝４２−(キ＋ク＋１１)＝４２−３９＝３　とわかります。

「エ＋コ＝９」について考えると、３、４、７はもう使われているので、エとコに当てはまるのは１と８の組み合わせだけです。
さらに、「エ＋キ＝１６」より、エが８になるとキも８となって条件に合わないので、エ＝１，コ＝８　が決まります。
また、キ＝１６−エ＝１５，ク＝２１−コ＝１３　も決まります。

ここまでに決まった数をうめると、次のようになります。

ここで、まだ入れていない８つの数に注目します。この中の７つは偶数で、奇数は「５」のみです。
１列の和を偶数にしなくてはいけないのですから、どの列を見ても奇数が偶数個入っていなくてはいけません。
１２本の直線すべてを調べると、今わかっている中で奇数が奇数個入っているのは「ア，ウ，３，ケ」の列と「ケ，１９，８，Ｂ」の列のみです。
よって、どちらの列にも共通するケに５が当てはまることがわかります。
したがって、Ｂ＝４２−(ケ＋１９＋８)＝１０　です。

＜参考＞
完成させると次のようになります。


問題２
正直村の村人を○、うそつき村の村人を×と表すことにします。
○の両どなりは「２人とも○」か「２人とも×」のどちらかです。
また、×の両どなりは「○と×が１人ずつ」います。
上の２つの条件を同時に満たすならび方は、「○・×・×・○・×・×・○・×・×・……」しかありえません。
よって、９９人のうちの３分の２がうそつき村の村人になります。
９９×２／３＝６６(人)

問題３
途中でどのようなつなぎ方をするとしても、つなぐ回数は全部で７回、つなぐ面の合計は１２面になります。
また、２個目と３個目をつなぐときはどのようなつなぎ方をしても必ず１面ずつしかつなげず、８個目はそれまでにどのようなつなぎ方をしていても必ず３面をつなげます。
よって、４個目〜７個目をつなぐときに、合計で　１２−(１×２＋３)＝７(面)　をつなぐことになります。
その４回のつなぎ方が（１面，１面，２面，３面）だとすると合計金額は６２０円、（１面，２面，２面，２面）だとすると合計金額は６４０円となり、（１面，１面，２面，３面）の場合が最も安くなることがわかります。
実際にそのようなつなぎ方ができるかどうかを調べると、例えば次のようにすればよいことがわかります。

よって、支払う金額は最低で、１００×２＋６２０＋２４０＝１０６０(円)　です。

問題４
下図ように正八角形の中心をＩとします。

求める面積は五角形ＡＢＣＤＩから三角形ＡＤＩを除いたものです。
三角形ＡＤＩの底辺をＡＩとすると、三角形ＡＤＩと三角形ＡＢＩの高さは等しいので、三角形ＡＤＩと三角形ＡＢＩの面積は等しくなります。
よって、求める面積は四角形ＢＣＤＩと等しくなります。
四角形ＢＣＤＩは正八角形の４分の１なので、その面積は　１００÷４＝２５(cm2)　です。

問題５
(1)　１回で３になる数は、(十の位)＋(一の位)＋２＝３　となる数なので「１０」しかありません。
２回で３になる数は、(十の位)＋(一の位)＋２＝１０　となる数なので「１７」「２６」「３５」「４４」「５３」「６２」「７１」「８０」の８個があります。
３回で３になる数は、(十の位)＋(一の位)＋２＝１７　や、(十の位)＋(一の位)＋２＝２６　などとなる数ですが、「(十の位)＋(一の位)＋２」の最高は２０なので、１７になるときのみを調べます。
すると、「６９」「７８」「８７」「９６」の４個が見つかります。
「(十の位)＋(一の位)＋２」の値を６９にすることはできないので、ここまでに調べたもので全部となり、１＋８＋４＝１３(個)　あることがわかります。

(2)　１回で３にするためには、(百の位)＋(十の位)＋(一の位)＋３＝３　としなければいけないですが、そのような数はありません。
２回以上で３にするためには、「(百の位)＋(十の位)＋(一の位)＋３」の値を、(1)で調べた「１０」「１７」「２６」「３５」……などにする必要があります。
「(百の位)＋(十の位)＋(一の位)」の値は最高でも２７なので、「１０」「１７」「２６」の３つの場合だけ調べればよいことがわかります。

● (百の位)＋(十の位)＋(一の位)＋３＝１０　のとき
（７，０，０）の３つを並べてできる数が１個。（「７００」）
（６，１，０）の３つを並べてできる数が４個。（「１０６」「１６０」「６０１」「６１０」）
（５，２，０）の３つを並べてできる数が４個。
（５，１，１）の３つを並べてできる数が３個。（「１１５」「１５１」「５１１」）
（４，３，０）の３つを並べてできる数が４個。
（４，２，１）の３つを並べてできる数が６個。（「１２４」「１４２」「２１４」「２４１」「４１２」「４２１」）
（３，３，１）の３つを並べてできる数が３個。
（３，２，２）の３つを並べてできる数が３個。
以上、２８個あります。

● (百の位)＋(十の位)＋(一の位)＋３＝１７　のとき
（９，５，０）の３つを並べてできる数が４個。
（９，４，１）の３つを並べてできる数が６個。
（９，３，２）の３つを並べてできる数が６個。
（８，６，０）の３つを並べてできる数が４個。
（８，５，１）の３つを並べてできる数が６個。
（８，４，２）の３つを並べてできる数が６個。
（８，３，３）の３つを並べてできる数が３個。
（７，７，０）の３つを並べてできる数が２個。
（７，６，１）の３つを並べてできる数が６個。
（７，５，２）の３つを並べてできる数が６個。
（７，４，３）の３つを並べてできる数が６個。
（６，６，２）の３つを並べてできる数が３個。
（６，５，３）の３つを並べてできる数が６個。
（６，４，４）の３つを並べてできる数が３個。
（５，５，４）の３つを並べてできる数が３個。
以上、７０個あります。

● (百の位)＋(十の位)＋(一の位)＋３＝２６　のとき
（９，９，５）の３つを並べてできる数が３個。
（９，８，６）の３つを並べてできる数が６個。
（９，７，７）の３つを並べてできる数が３個。
（８，８，７）の３つを並べてできる数が３個。
以上、１５個あります。

よって、全部で　２８＋７０＋１５＝１１３(個)　あります。

問題６
場合分けの方法は色々と考えられますが、ここでは次の図ア〜図エに分けて、それぞれ何通りあるかを考えます。

● 図アのとき
残りの４マスにはどのように○・×が入ってもよいので、２×２×２×２＝１６(通り)

● 図イのとき
左上と左下の２マスにはどのように○・×が入ってもよいですが、残りの２マスについては両方に×が入ってはいけません。
２×２×（２×２−１）＝１２(通り)

● 図ウのとき
図イと線対称の関係にあるので、同じく１２通りあります。

● 図エのとき
Ｃのマスには必ず○が入ります。また、「ＡとＢの両方に×が入る場合」と「ＢとＤの両方に×が入る場合」はのぞかなくてはいけません。
そのような入れ方は５通りあります。

以上より、１６＋１２×２＋５＝４５(通り)　です。

問題７
次のようにア〜チとします。

まず、「１＋１＋セ」でくり上がりが起こっているので、「ケ＋ス＝９」、シ＝１　となることがわかります。
また、２０１７００÷９９９＝２０１余り９０１　より、「アイウ」も「エ６オ」も２０２以上の数になります。
次は「アイウ×６＝ケ１コサ」となることに注目します。
ア＝２　のとき、イにどのような数を入れても答えの百の位を１にすることはできません。
ア＝３　のとき、イが５か６であれば、答えの百の位を１にすることができます。
ア＝４　のとき、イにどのような数を入れても答えの百の位を１にすることはできません。
ア＝５　のとき、イが２か３であれば、答えの百の位を１にすることができます。
ア＝６　のとき、イが８か９であれば、答えの百の位を１にすることができます。
ア＝７　のとき、イにどのような数を入れても答えの百の位を１にすることはできません。
ア＝８　のとき、イが５か６であれば、答えの百の位を１にすることができます。
ア＝９　のとき、イにどのような数を入れても答えの百の位を１にすることはできません。

もし、ア＝８　とすると、イが５であっても６であっても　ケ＝５　となるので、ス＝４　にしなければいけません。　
しかし、８５０以上８６９以下の数に何をかけ算しても１４００以上１４９９以下の数を作ることはできないので、エに当てはまる数がありません。
もし、ア＝６　とすると、イが８であっても９であっても　ケ＝４　となるので、ス＝５　にしなければいけません。　
しかし、６８０以上６９９以下の数に何をかけ算しても１５００以上１５９９以下の数を作ることはできないので、エに当てはまる数がありません。
もし、ア＝５　とすると、イが２であっても３であっても　ケ＝３　となるので、ス＝６　にしなければいけません。　
しかし、５２０以上５２９以下の数に何をかけ算しても１６００以上１６９９以下の数を作ることはできないので、エに当てはまる数がありません。
もし、ア＝３　とすると、イが５であっても６であっても　ケ＝２　となるので、ス＝７　にしなければいけません。　
３５０以上３６９以下の数に何かをかけ算して１７００以上１７９９以下の数を作るには、エに５を当てはめればよいことがわかります。

ここまでで決まったことを表すと次のようになります。

「３イウ×５＝１７セソ」より、イ＝５　と決まります。
さらに、「３５ウ×オ＝１カキク」より、オは３か４か５のいずれかだとわかります。
ここで、見当をつけるために逆算をしてみます。
　２０１７００÷５６３＝３５８余り１４６
　２０１７００÷５６４＝３５７余り３５２
　２０１７００÷５６５＝３５６余り５６０
この計算より、「３５ウ」が３５７か３５８であることがわかります。

ここまででだいぶ候補がしぼれてきたので、あとは実際に計算をして条件を満たす筆算を探します。
すると、「３５７×５６５」の筆算のみが条件を満たすことがわかります。

問題８
３けたの整数を２つかけ合わせるとその積は５けたか６けたの整数になりますが、「各けたの数字がすべて異なり、さらに数字はすべて偶数」とあるので、積は０，２，４，６，８を１回ずつ使っている５けたの整数であることがわかります。
また、Ａの百の位が３だとすると積は９００００以上の数となり一万の位を偶数にすることができません。
よって、Ａの百の位は１で、積の一万の位は２であることがわかります。

ここで、３の倍数の見分け方を利用して候補をしぼってみます。
積の各位の和は、０＋２＋４＋６＋８＝２０　なので、積は３の倍数ではありません。
よって、ＡもＡ＋１も３の倍数でないことがわかり、Ａは（３の倍数＋１）となることが決まります。
Ａの百の位は１と決まっているので、Ａの各位の和を（３の倍数＋１）とするためには、Ａの十の位と一の位の和を３の倍数にする必要があります。
そのようなＡを考えると、１３３，１３９，１５７，１７５，１９３，１９９の６通りしかありません。

ここまでで、「Ａ×(Ａ＋１)」の候補は「１３３×１３４」「１３９×１４０」「１５７×１５８」「１７５×１７６」「１９３×１９４」「１９９×２００」の６通りにしぼれました。
さらに、「１３３×１３４」「１９３×１９４」は一の位が２となるので不可、「１９９×２００」は十の位と一の位がともに０となるので不可となることもすぐわかります。
残る３通りの計算をしてみると、１５７×１５８＝２４８０６　の式だけが条件を満たすことがわかります。
よって、Ａ＝１５７　です。

問題９
もし、９，８，７などの大きい数を別々の行や列に入れてしまうと、「２番目に大きい整数」も小さくなってしまうので和を大きくできません。
和を大きくしたければ、大きい数２つをなるべく同じ行や列に入れる必要があります。
そこで、９，８，７，６の４つを２×２の正方形の中に入れた場合について調べてみます。
また、その次に大きな５は、２×２の正方形と同じ行や列にならない場所に入れます。

すると、例えば図１のときに、２番目に大きい整数の和を、６＋８＋４＋６＋７＋３＝３４　とすることができます。
図２のように９と８が同じ行や列にならんでいないときは、７＋６＋４＋６＋７＋３＝３３　となって和が小さくなります。

以上より、求める和は３４です。

問題10
(1)　最初の５個の数字を順にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅとします。
Ａ〜Ｅは１，３，５，７，９のいずれかで、Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＝２５　なので、もしその次に数を付け足すのであれば、その数を５にしないと６の倍数(３０)を作ることができません。
しかし、５を足して３０を作るとその次に付け足す数がなくなり、最後の数を９にすることができません。
よって、最後の数字を９とするためには、Ｅ＝９　として５個目を最後としなくてはいけません。
このとき、Ａ〜Ｄは１，３，５，７のいずれかで、Ａが１の倍数、「Ａ＋Ｂ」が２の倍数、「Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ」が４の倍数となるのは明らかなので、「Ａ＋Ｂ＋Ｃ」が３の倍数となるときを考えます。
「Ａ＋Ｂ＋Ｃ」を３の倍数にするためには、その３つの数の組み合わせを（１，３，５）（３，５，７）のどちらかにする必要があります。
したがって、並べ方は　３×２×１×２＝１２(通り)　あります。

(2)　Ａ＝１　のとき、ＢとＣは３か５になるので、「１，３，５，７，９」または「１，５，３，７，９」のどちらかを書けば正解となります。

(3)　かけ算九九表のような表を使って数字のつなげ方を考えてみます。

４個目までの和として考えられる最小の値は１２（「１，３，２，６」など）、最大の値は２８（「９，７，８，４」など）です。
例えば、４個目までの和を１６にすると、５個目に使える数字は４か９です。
もし４を使うとすると、和が２０となりますが、６個目に使える数字も４のみとなり、規則に反します。
一方、９を使うとすると、和が２５となり、６個目に５を使って和を３０にできます。

以上のことから、上の表を右に２連続でたどると規則に反することがわかります。
６個目以降は表を右にたどるしかないので、「５個目までの和」から「６個目までの和」に進むときにななめの線をたどるようにすれば、つなげる個数を最大にできます。
ですから、「４個目までの和を１２にして、５個目に３、６個目に９、７個目に４を付け足して７個目までの和を２８とする」か、「４個目までの和を２８にして、５個目に７、６個目に１、７個目に６を付け足して７個目までの和を４２とする」のが最もうまいつなげ方だとわかります。
実際、「１，３，２，６，３，９，４」「９，７，８，４，７，１，６」などは規則を守っており、つなげられる最大の個数は７個です。

ジュニア算数オリンピック　トライアル
＜解答＞
問題１　(1)　４枚→２枚→４枚　　(2)　４枚→３枚→５枚→４枚
問題２　６６人
問題３　４４０個
問題４　(1)　１９　　(2)　１０
問題５　(1)　５回　　(2)　Ｂ　６　　Ａ　１，２，３
問題６　４５通り
問題７　１２０cm2
問題８　（１６３×５６の筆算）
問題９　(1)　最大　６個　　最小　３個　　(2)　１４通り
問題10　最大　４８６５１　　最小　１３４８５

＜解説＞
問題１
(1)　パンケーキを小さい方から順に、１，２，３，４と表すことにします。
初めは、上から１，２，４，３の順にならんでいます。
４を一番下にするには、いったん４が一番上にくるようにしてから、４枚ひっくりかえさなくてはいけません。

もし、１回目に３枚、２回目に４枚をひっくりかえすと、４を一番下にすることができますが、３回目に完成図が作れません。

もし、１回目に２枚をひっくりかえすと、次は４が一番上にくるようにしなければいけないので３枚ひっくりかえさなくてはいけませんが、やはり３回目に完成図が作れません。

１回目に４枚をひっくりかえすと、下のように完成図を作ることができます。


(2)　パンケーキを小さい方から順に、１，２，３，４，５と表すことにします。
初めは、上から３，５，１，２，４の順にならんでいます。
「１，２，３，４，５」とならべるためには、２と４の間に３を、３と５の間に４を入れなくてはいけません。
また、５を一番下にするには、いったん、５が一番上にくるようにしてから５枚ひっくりかえさなくてはいけません。

２と４の間に３を入れるには、「４枚→３枚」という順にひっくり返す必要があります。

このとき、「１，２，３，４」が順序よくならび、さらに５が一番上にきたので、あとは「５枚→４枚」という順でひっくり返せばよいことがわかります。

ちなみに、３と５の間に４を入れることを優先すると、「５枚→４枚→３枚」という順にひっくり返す方法が考えられますが、下の図のようになってあと１回では完成図が作れません。



問題２
正直村の村人を○、うそつき村の村人を×と表すことにします。
○の両どなりは「２人とも○」か「２人とも×」のどちらかです。
また、×の両どなりは「○と×が１人ずつ」います。
上の２つの条件を同時に満たすならび方は、「○・×・×・○・×・×・○・×・×・……」しかありえません。
よって、９９人のうちの３分の２がうそつき村の村人になります。
９９×２／３＝６６(人)

問題３
１×２＋２×３＋３×４＋４×５＋５×６＋６×７＋７×８＋８×９＋９×１０＋１０×１１＝４４０(個)

＜参考＞
このような個数の関係でできる立体を３つ組み合わせると、下のように直方体ができます。

１０段まで積んだものを３つ組み合わせると、たて１２マス、横１１マス、高さ１０マスの直方体となるので、
１２×１１×１０÷３＝４４０(個)　と求めることもできます。

問題４
下のようにア〜シを決めます。

(1)　１から２０までの整数の和は、１＋２＋３＋……＋２０＝(１＋２０)×２０÷２＝２１０　です。
たてに○がならんでいる列（上図の太線の列）は５列あります。その５列それぞれの和は等しくなるので、１列分の和は、２１０÷５＝４２　です。
ななめの列にある、１２、１１、Ａの和も４２となるので、Ａ＝４２−(１２＋１１)＝１９　です。

(2)　１列の和が４２であることを考えると、
ア＋イ＝２６　　サ＋シ＝１８　　イ＋サ＝２２　　がわかります。
この３つの式より、ア＋シ＝２６＋１８−２２＝２２　と求められます。

また、エ＋キ＝１６　　ク＋コ＝２１　　エ＋コ＝４２−(ア＋シ＋１１)＝９　　がわかるので、
キ＋ク＝１６＋２１−９＝２８　と求められます。
以上より、カ＝４２−(キ＋ク＋１１)＝４２−３９＝３　とわかります。

「エ＋コ＝９」について考えると、３、４、７はもう使われているので、エとコに当てはまるのは１と８の組み合わせだけです。
さらに、「エ＋キ＝１６」より、エが８になるとキも８となって条件に合わないので、エ＝１，コ＝８　が決まります。
また、キ＝１６−エ＝１５，ク＝２１−コ＝１３　も決まります。

ここまでに決まった数をうめると、次のようになります。

ここで、まだ入れていない８つの数に注目します。この中の７つは偶数で、奇数は「５」のみです。
１列の和を偶数にしなくてはいけないのですから、どの列を見ても奇数が偶数個入っていなくてはいけません。
１２本の直線すべてを調べると、今わかっている中で奇数が奇数個入っているのは「ア，ウ，３，ケ」の列と「ケ，１９，８，Ｂ」の列のみです。
よって、どちらの列にも共通するケに５が当てはまることがわかります。
したがって、Ｂ＝４２−(ケ＋１９＋８)＝１０　です。

＜参考＞
完成させると次のようになります。


問題５
(1)　Ｂ君の積の最大は、６×６＝３６　です。
Ａ君の振った回数をなるべく多くするには、Ａ君が小さい目をたくさん出す必要があります。
１×２×３×４×１＝２４（＜３６），１×２×３×４×５×１＝１２０（＞３６）　より、最大は５回とわかります。

(2)　Ａ君は６回目までで１〜６の目をすべて１回ずつ出していることがわかります。
よって、Ａ君の積は　１×２×３×４×５×６×□＝７２０×□　です。
また、Ｂ君の積として考えられる最大の数は、６×５×４×３×６＝２１６０　です。
この２つの式から、２１６０÷７２０＝３　より、□に当てはまる数は３以下だとわかります。
ここで、Ｂ君が出した目を、ア・ア・イ・ウ・エとし（ア〜エには異なる数が入る）、上の□に当てはまる数で場合分けしてア〜エに入る数を調べます。

● □＝１　のとき
７２０を素因数分解すると　７２０＝２×２×２×２×３×３×５　です。
これをふまえて上のア〜エに当てはまる数を探すと、ア×ア×イ×ウ×エ＝６×６×１×４×５　しかありません。

● □＝２　のとき
１４４０を素因数分解すると　１４４０＝２×２×２×２×２×３×３×５　です。
これをふまえて上のア〜エに当てはまる数を探すと、ア×ア×イ×ウ×エ＝６×６×２×４×５　または、ア×ア×イ×ウ×エ＝４×４×３×５×６　が見つかります。
しかし、Ａ君の７つの数の和は１＋２＋３＋４＋５＋６＋２＝２３　で、６＋６＋２＋４＋５＝２３、　４＋４＋３＋５＋６＝２２　なので、後者の組み合わせは条件に当てはまりません。

● □＝３　のとき
２１６０を素因数分解すると　２１６０＝２×２×２×２×３×３×３×５　です。
これをふまえて上のア〜エに当てはまる数を探すと、ア×ア×イ×ウ×エ＝６×６×３×４×５　しかありません。

以上より、Ｂ君が最後に出した数字は６、Ａ君が最後に出した数字として考えられるものは１，２，３です。

問題６
場合分けの方法は色々と考えられますが、ここでは次の図ア〜図エに分けて、それぞれ何通りあるかを考えます。

● 図アのとき
残りの４マスにはどのように○・×が入ってもよいので、２×２×２×２＝１６(通り)

● 図イのとき
左上と左下の２マスにはどのように○・×が入ってもよいですが、残りの２マスについては両方に×が入ってはいけません。
２×２×（２×２−１）＝１２(通り)

● 図ウのとき
図イと線対称の関係にあるので、同じく１２通りあります。

● 図エのとき
Ｃのマスには必ず○が入ります。また、「ＡとＢの両方に×が入る場合」と「ＢとＤの両方に×が入る場合」はのぞかなくてはいけません。
そのような入れ方は５通りあります。

以上より、１６＋１２×２＋５＝４５(通り)　です。

問題７
等しい長さの辺に印をつけたり求められる角度を記入したりしていくと図のようになります。

上の図より、星型と正十角形が重なった部分は、頂角１０８度の平べったい二等辺三角形（これをＡとよぶことにします）と、頂角３６度のとんがった二等辺三角形（これをＢとよぶことにします）１個ずつに分けることができるとわかります。
このＢを次の図のようにうつすと、ＡとＢを合わせた大きい二等辺三角形ができます。

この二等辺三角形は３つの内角が３６度、７２度、７２度で、一番短い辺の長さが正十角形の一辺の長さと等しくなるので、正十角形の中心から各頂点に引いた線でできる二等辺三角形と合同であることがわかります。
よって、正十角形の面積は、１２×１０＝１２０(cm2)　です。

＜参考＞
Ａの三角形１０個を正十角形の辺にそってしきつめ、Ｂの三角形１０個を正十角形の中心の周りにしきつめると次の図のようになります。

このことからも、正十角形の面積が（Ａ＋Ｂ）の１０個分であることがわかります。

問題８
次のようにア〜シとします。

「オ＋１」の下が１となっていることに注目します。
オは０でないので、オ＝９　で、「カ＋ケ」でくり上がりが起きていることがわかります。
「ア６イ × エ」の百の位が９となるのは、ア＝１，エ＝６　のとき、または、ア＝４，エ＝２　のとき以外ありえません。
ア＝４，エ＝２　のとき、「４６イ × ウ」の答えを３けたにしなくてはいけないので、ウには１か２が入りますが、どちらを入れても「４６イ × ウ」の十の位を１にすることはできません。
よって、ア＝１，エ＝６　と決まります。

「１６イ × ウ」の答えを３けたにしなくてはいけないので、ウには６以下の数が入ります。
「１６イ × ウ」の答えの十の位が１になるのは、イ＝２，ウ＝５　のとき、または、イ＝３，ウ＝５　のとき以外ありえません。
よって、ウ＝５　と決まります。

あとは、「１６２×５６」「１６３×５６」の両方を試してみると、「１６３×５６」の筆算で条件が合うことがわかります。

問題９
白の方が黒より多い場合について調べます。
白が５個入るのは、 を回転してできる４通りと の１通り、計５通りがあります。

白が６個入るのは、 を回転してできる２通りがあります。
白が７個入るとき、黒は２個しか入れられず、その２個をすべての２×２のマスに共通する場所で使うことはできないので、白を７個入れることはできません。

(1)　上のことから、「最大の場合」は６個です。また、「最小の場合」は黒の最小の場合と同じなので、９−６＝３(個)　です。

(2)　上のことから、白の方が黒より多い場合は　４＋１＋２＝７(通り)　あり、黒の方が多い場合も同様に７通りあるので、全部で　７×２＝１４(通り)　です。


問題10
最大のもの
Ａの一万の位を５以上にするとＢが６けたになるので、一万の位の最大は４です。

Ａの千の位を９にするとき、「４９□□□×２」の答えは「９８□□□」または「９９□□□」となってどちらの場合も９を２度以上使ってしまうので、千の位を９にすることはできません。
Ａの千の位を８にするとき、「４８□□□×２」の答えは「９６□□□」または「９７□□□」となって同じ数字は出てこないので、必ず条件を満たす数があるかどうか確かではありませんが、いったん千の位を８とします。

Ａの百の位を５以上にするとＢは「９７□□□」となり、そのときにＡの百の位として使える数は６か５です。
Ａの百の位を６にするとき、「４８６□□×２」の答えは「９７２□□」または「９７３□□」となって、どちらの場合も同じ数字は出てきません。
さらに、まだ使っていない０，１，５を□に当てはめてみると「４８６５１×２＝９７３０２」が見つかります。

以上より、Ａの最大は４８６５１です。

最小のもの
Ａの一万の位は１とします。

Ａの千の位を０とするとき、「１０□□□×２」の答えは「２０□□□」または「２１□□□」となって、どちらの場合も０か１を２度以上使ってしまうので、千の位を０にすることはできません。
Ａの千の位を２とするとき、「１２□□□×２」の答えは「２４□□□」または「２５□□□」となって、どちらの場合も２を２度以上使ってしまうので、千の位を２にすることはできません。
Ａの千の位を３とするとき、「１３□□□×２」の答えは「２６□□□」または「２７□□□」となって、同じ数字は出てこないので、必ず条件を満たす数があるかどうか確かではありませんが、いったん千の位を３とします。

Ａの百の位を０とするとき、「１３０□□×２」の答えは「２６０□□」または「２６１□□」となって、どちらの場合も０か１を２度以上使ってしまうので、百の位を０にすることはできません。
Ａの百の位を４とするとき、「１３４□□×２」の答えは「２６８□□」または「２６９□□」となって、どちらの場合も同じ数字は出てきません。
さらに、まだ使っていない０，５，７を□に当てはめてみると「１３４８５×２＝２６９７０」が見つかります。

以上より、Ａの最小は１３４８５です。

キッズＢＥＥ　トライアル
＜解答＞
もんだい１　
もんだい２　(1)１６　　(2)１０　
もんだい３　１９分
もんだい４　３８cm
もんだい５　１，６，２０，２，１４
もんだい６　イ，エ，カ
もんだい７　１日目　Ｅ　２日目　Ｄ　３日目　Ｂ　４日目　Ｃ　５日目　Ａ
もんだい８　４
もんだい９　４枚→２枚→４枚

＜解説＞
もんだい１
どのマスの図形も、数字が、かがみうつしのようになっています。
どれもふつうの数字に直すと下のようになり、まほうじん（たて、よこ、ななめのどれも、３つの合計が１５）になっています。
よって、「？」にあてはまる数字は２で、それを図形に直すととなります。


もんだい２
(1)　「３▲３＝２７」を見ると、かなり数が大きくなっていますし、２７は九九の３のだんの数なので、かけ算をつかっているのではないかとよそうできます。
すると、３▲２＝３×３＝９、２▲３＝２×２×２＝８、３▲３＝３×３×３＝２７　となっていて、前の数を後ろの回数だけかけ算していることがわかります。
よって、４▲２＝４×４＝１６　です。

(2)　(1)とちがって、使っている数が大きくなっても答えはあまり大きくなっていないので、たし算とかんけいがあるのではないかとよそうできます。
すると、１●５＝１＋５−１＝５、２●３＝２＋３−１＝４、３●３＝３＋３−１＝５、４●５＝４＋５−１＝８　となっていて、前の数と後ろの数の合計から１をひいていることがわかります。
よって、５●６＝５＋６−１＝１０　　　

もんだい３
５本に切りわけるためには４回切らなければいけません。
「切る、休む、切る、休む、切る、休む、切る」とすれば終わるので、切る時間は全部で　４×４＝１６(分)、休む時間は全部で　１×３＝３(分)、合計で　１６＋３＝１９(分)　かかります。

もんだい４
長方形のたてとよこの長さの合計は、まわりの長さの半分になります。
ですから、図の赤の線の長さは１６cmの半分の８cm、青の線は２２cmの半分の１１cm、茶色の線は２０cmの半分の１０cm、緑の線は１８cmの半分の９cmです。
よって、８＋１１＋１０＋９＝３８(cm)　です。


もんだい５
２のうらは、１か４です。
３のうらは、６と決まります。
１０のうらは、５か２０です。
４のうらは、２か８です。
７のうらは、１４と決まります。
いま、決まっている数だけをたすと、２＋３＋１０＋４＋７＋６＋１４＝４６　で、のこりは　６９−４６＝２３　です。
赤字の数の中から数をえらんで合計を２３にする方法は、１＋２０＋２　しかありません。
よって、２のうらは１、１０のうらは２０、４のうらは２と決まります。

注：この問題で使っている数は整数のみとはかぎりませんが、もし３のうらが１.５、７のうらが３.５だったとしても合計を６９にすることはできません。

もんだい６
まず、(ア)〜(カ)それぞれについて、合計をもとめてみます。
(ア)→１０　(イ)→９　(ウ)→８　(エ)→９　(オ)→８　(カ)→７　
これらを使って２５を作るには、「１０＋８＋７」「９＋９＋７」「９＋８＋８」のどれかでなくてはいけません。
●「１０＋８＋７」の場合
(ア)(ウ)(カ)または(ア)(オ)(カ)を使うことになりますが、どちらの場合も図２の形は作れません。
●「９＋９＋７」の場合
(イ)(エ)(カ)を使うことになり、下の図のように作ることができます。
●「９＋８＋８」の場合
(イ)(ウ)(オ)または(ウ)(エ)(オ)を使うことになりますが、どちらの場合も図２の形は作れません。

よって、図２の形を作るために使うピースは(イ)(エ)(カ)です。


もんだい７
まず、Ｂチームに注目します。
Ｂは１日目にＡ、２日目にＣと対戦しているので、３日目はのこりのＤ、Ｅ、Ｆのどこかと対戦します。
しかし、３日目はＤとＥが対戦することが決まっているので、３日目にＢと対戦するのはＦです。
つぎに、Ｄチームに注目します。
Ｄは３日目にＥ、４日目にＡと対戦しているので、２日目はのこりのＢ、Ｃ、Ｆのどこかと対戦します。
しかし、２日目はＢとＣが対戦することが決まっているので、２日目にＤと対戦するのはＦです。
ここまででわかったことを表に記入すると、次のようになります。

すると、２日目ののこりの対戦が「Ａ−Ｅ」、３日目ののこりの対戦が「Ａ−Ｃ」と決まります。
ここまでで、Ａは１〜４日目の対戦相手がわかったので、５日目にＡと対戦するのがＦだと決まります。

この後も、ＢやＤに注目すると、１日目や４日目の対戦が決まります。
表を完成させると、下のようになります。


もんだい８
３つの面の数字の合計をすべての角に書くと下の図のようになります。
これを見ると、「１０」と「１２」がふくまれている面に書かれた数字が４であることがわかります。


もんだい９
４番を一番下にするには、いったん、４番が一番上にくるようにしてから４枚ひっくりかえさなくてはいけません。

もし、１回目に３まい、２回目に４まいをひっくりかえすと、４番を一番下にすることができますが、３回目に完成図が作れません。

もし、１回目に２まいをひっくりかえすと、次は４番が一番上にくるようにしなければいけないので３まいひっくりかえさなくてはいけませんが、やはり３回目に完成図が作れません。

１回目に４まいをひっくりかえすと、下のように完成図を作ることができます。

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