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2018年 算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズBEE トライアル 解答・解説


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算数オリンピック トライアル
<解答>
問題1 A 4cm,30cm  B 24cm,10cm (どちらも順不同)
問題2 1と5,2と4,3と6 (すべて順不同)
問題3  (左右反転したものも可)
問題4 359円
問題5 11回
問題6 256分の49倍
問題7 1回目 48点  平均点 64.8点 または 1回目 49点  平均点 63点
問題8 762.5cm2
問題9 A 29  B 51  C 80  D 43  E 67
問題10 56

<解説>
問題1
Bの長方形について、上、中、下の長方形のたての長さの比は 6:2:4=3:1:2 になります。
たての長さの比の1が4cmとわかっているので、B全体のたての長さは 4×(3+1+2)=24(cm) です。
AとBは周りの長さが等しく、Bのたての長さはAのたてより 24−4=20(cm) 長いので、Bの横の長さはAの横より20cm短くなります。 
Aの長方形について、左、中、右の長方形の横の長さの比は1:2:3になります。
1+2+3−2=4 より、横の長さの比の4が20cmにあたるので、比の1は5cmです。
以上より、Aのたては4cm、Aの横は 5×(1+2+3)=30(cm)、Bのたては24cm、Bの横は 5×2=10(cm) です。

問題2
「各頂点の周りの3面を見ると必ず、3の倍数が書かれた面が少なくとも1つある」という条件から、3と6の面が向かい合う面に書かれていることがわかります。
また、2の倍数(2・4・6)の3つの面が1つの頂点の周りに集まっていると、反対の頂点の周りに2の倍数の面がなくなってしまうので、2と4の面はとなり合わないことがわかります。
よって、「3と6」「2と4」が向かい合い、残りの「1と5」も向かい合うことがわかります。

問題3


問題4
1円玉は2枚集まると2円玉に両替できます。同様に、2円玉は3枚で6円玉に、6円玉は4枚で24円玉に、24円玉は5枚で120円玉に、それぞれ両替できます。
求める金額は、両替できないような枚数で12枚分になる金額なので、1円玉を1枚、2円玉を2枚、6円玉を3枚、24円玉を4枚、そして120円玉を 12−(1+2+3+4)=2(枚) 使う金額が最小となります。
よって、1×1+2×2+6×3+24×4+120×2=359(円) です。

問題5
右に2回回して左に1回回すと元の目盛りにもどってしまうので、なるべくどちらか一方に回すことを考えなくてはいけません。
ただし、金庫の目盛りは偶数で、初めの△と▼は1目盛り(奇数)だけずれているので、最低1回は右回転させなければいけません。

●右回転のみで開けるとき
△と▼が合うのは右に1目盛り、33目盛り、65目盛り、……だけ回したときです。
65が5の倍数なので、65÷5=13(回) 操作をすればよいことがわかります。

●右に1回回し、あとは左回転のみで開けるとき
右に1回回した後、△と▼が合うのは左に4目盛り、36目盛り、68目盛り、100目盛り、……だけ回したときです。
100が10の倍数なので、初めの右への1回転も合わせると、1+100÷10=11(回) 操作をすればよいことがわかります。
13よりも11が小さいので、最も少ない操作の回数は11回です。

問題6

対称性より、中央にできる緑の三角形は正三角形になります。
また、印をつけた角はすべて60度とわかるので、青の3つの三角形もすべて正三角形です。
赤線の長さは 16−3=13(cm) で、青の正三角形の一辺は3cmなので、緑の正三角形の一辺は 13−3×2=7(cm)です。
よって、一辺7cmの正三角形の面積が一辺16cmの正三角形の面積の何倍かを求めればよいことになります。
正三角形どうしはすべて相似の関係なので、面積比は「(相似比)×(相似比)」で求められます。
(7×7)÷(16×16)=49/256 より、答えは49/256倍です。

問題7
5回の試験の点数を1回目から順に( アイ(点),ウエ(点),オカ(点),キク(点),ケコ(点) )と表すことにします。
まず、それぞれの点数の十の位の組み合わせ(ア,ウ,オ,キ,ケ)について考えます。
この5つは ア<ウ<オ<キ<ケ となり、一の位からのくり上がりを考えても ア×2+1≧ケ とならなくてはいけません。
そのような組み合わせは
(5,6,7,8,9)、(4,6,7,8,9)、(4,5,7,8,9)、(4,5,6,8,9)、(4,5,6,7,9)、(4,5,6,7,8)、(3,4,5,6,7)の7通りあるので、それぞれについて一の位の数を考えます。

● 5つの数が(5イ,6エ,7カ,8ク,9コ)の場合
一の位の数については、カを0とし、イとコを大きい数にする必要があります。
しかし、例えば(53,61,70,82,94)、(54,62,70,81,93)などとしても、条件に当てはまる組み合わせは作れません。

● 5つの数が(4イ,6エ,7カ,8ク,9コ)の場合
「4イ」と「6エ」の差が最小でも 60−45=15 となり、他の数どうしの差を16以上にすることはできないので不可です。

● 5つの数が(4イ,5エ,7カ,8ク,9コ)の場合
「5エ」と「7カ」の差が最小でも 70−56=14 となり、「8ク−7カ」「9コ−8ク」の両方を15以上にすることはできないので不可です。

● 5つの数が(4イ,5エ,6カ,8ク,9コ)の場合
「6カ」と「8ク」の差は最小で 80−67=13 となりますが、そのときは「9コ−8ク」を 93−80=13 までにしかできません。
また、「6カ」と「8ク」の差を 80−63=17 としても、「9コ−8ク」を 97−80=17 までにしかできません
よって、不可です。

● 5つの数が(4イ,5エ,6カ,7ク,9コ)の場合
(48,53,61,70,92)、(48,53,60,71,92)、(48,52,60,71,93)、(48,51,60,72,93)、(48,50,61,73,92)という組み合わせがいずれも条件を満たします。
このとき、これらは一の位を入れかえているだけなのでいずれも5回の平均点は等しく、(48+53+61+70+92)÷5=64.8(点/回) となります。

● 5つの数が(4イ,5エ,6カ,7ク,8コ)の場合
(49,53,61,70,82)、(49,52,60,71,83)という組み合わせがどちらも条件を満たします。
このとき、これらは一の位を入れかえているだけなのでどちらも5回の平均点は等しく、(49+53+61+70+82)÷5=63(点/回) となります。

● 5つの数が(3イ,4エ,5カ,6ク,7コ)の場合
「3イ×2>7コ」という条件があるので、イには8か9、コには2以下の数が当てはまります。
しかし、これでは条件に当てはまる組み合わせは作れません。

以上より、条件に当てはまるものは「1回目 48点 平均点 64.8点」または「1回目 49点 平均点 63点」となります。

問題8
まず、どこかたて1列にならんだ5つの台形について考えます。

上の図のように台形に線を引くと、5つの台形は下に行くほど青の平行四辺形の分だけ面積が増えていることがわかります。
よって、5つの台形の面積の値は等差数列になります。

したがって、元の図形の25個の台形すべてについて面積の関係がわかるように印をつけると次のようになります。

アは「○×3+●×1」となり、これが49cm2、イは「○×3+●×11」となり、これが134cm2にあたります。
ア+イは「○×6+●×12」で、49+134=183(cm2) にあたるので、○×1+●×2=183÷6=30.5(cm2) です。
台形ABCDの面積=○×25+●×50=(○×1+●×2)×25=30.5×25=762.5(cm2)

問題9
0は一の位にしか入らず、《条件5》より、これら5つの数の中に偶数は多くても1つしか入らないので、5つのうちのどれか1つは一の位が0の数で、残り4つはすべて奇数だとわかります。
さらには、《条件5》より、これら5つの数の中に5の倍数は多くても1つしか入らないので、一の位として使われる奇数に5は使えません。
以上より、5つの数は「ア0」「イ1」「ウ3」「エ7」「オ9」(ア〜オは十の位)と表せることがわかります。

次に、《条件1》より、C=「ア0」 と決まり、AとBの組み合わせは(「イ1」と「オ9」)か(「ウ3」と「エ7」)となることがわかります。
ここで、Cの候補について考えてみると、C=20、C=40、C=50、C=60 のときにAとBにあてはまる数は無いので、C=80 と決まり、(A,B)の組み合わせとして考えられるのは(21,59)(23,57)(27,53)(29,51)となります。

● (A,B)=(21,59) のとき
D=43、E=67 としても、59−21>67−43 なので《条件4》に反します。

● (A,B)=(23,57) のとき
D=43、E=67 としても、57−23>67−43 なので《条件4》に反します。

● (A,B)=(27,53) のとき
D=43、E=67 としても、53−27>67−43 なので《条件4》に反します。

● (A,B)=(29,51) のとき
D=43、E=67 とすると、51−29<67−43 なので《条件4》を満たしています。
D=47、E=63 とすると、51−29>63−47 なので《条件4》に反します。(《条件5》にも反します)

以上より、A=29、B=51、C=80、D=43、E=67 と決まります。

問題10

と直すことができます。
次に、問題文にある「127通り」のうち、1/2がふくまれるのは何通りあるのかを考えます。
例えば「1/2と1/6」を選ぶということは、残りの「1/12、1/20、1/30、1/42、1/56」を選んでいることにもなります。
このようにペアを作っていくと、7個すべてを選ぶ1通り以外については、1/2がふくまれる組み合わせと1/2がふくまれない組み合わせが同数あることがわかります。
よって、127通りのうち1/2がふくまれるのは、(127−1)÷2+1=64(通り) です。
これは、1/2だけでなく、他の数も同様に64通りずつあります。
よって、求める和は、

【参考】「64通り」を求める別解
上記の考え方を使わない場合は、
「1/2」をふくむ1個の数を選ぶ場合 → 1通り
「1/2」をふくむ2個の数を選ぶ場合 → 6通り
「1/2」をふくむ3個の数を選ぶ場合 → 6×5÷(2×1)=15(通り)
「1/2」をふくむ4個の数を選ぶ場合 → 6×5×4÷(3×2×1)=20(通り)
「1/2」をふくむ5個の数を選ぶ場合 → 6×5÷(2×1)=15(通り)
「1/2」をふくむ6個の数を選ぶ場合 → 6通り
「1/2」をふくむ7個の数を選ぶ場合 → 1通り
合わせて、1+6+15+20+15+6+1=64(通り)
と求めることもできます。


ジュニア算数オリンピック トライアル
<解答>
問題1 8マス分
問題2 タイプ1 A  タイプ2 D  タイプ3 C  タイプ4 B
問題3  (左右反転したものも可)
問題4 (412×49の筆算)
問題5 最大 120  最小48
問題6 A 7  B 4  C 5  D 9
問題7 452613
問題8 32cm2
問題9 762.5cm2
問題10 A 8  I 7 

<解説>
問題1

「2」「0」「1」「8」のそれぞれについて、図の赤い部分と等しい面積の部分を青くぬると、緑の部分が広さの差になります。
「2」「0」「1」は上側の方が広いですが「8」は下側の方が広いことに注意すると、広さのちがいは 8+4+1−5=8(マス分) とわかります。

問題2
タイプ2になるためには水泳ができない人でないといけませんが、Dの発言よりA、B、Cの3人は水泳ができるので、タイプ2に当てはまるのはDです。
Aは「犬が好きだけどタイプ3にはならなかった」と言っているので、「好きな動物がいる?」や「犬が好き?」の質問を通っていないことがわかります。よって、タイプ1に当てはまるのはAです。
Cは「ぼくは映画が好きだよ」と言っているのでタイプ4に進むことができません。よって、タイプ3に当てはまるのがC、残りのタイプ4に当てはまるのがBと決まります。

問題3


問題4
次のようにア〜サとします。

まず、ク=1,コ=8 がわかります。
また、「オ+6」の答えは9か10にならなくてはいけないので、オは3か4です。
ここで、「ア1イ×エ」の答えと「ア1イ×ウ」の答えの大きさに注目します。
「ア1イ×エ」の答えは3000以上で、「ア1イ×ウ」の答えは1600以上1700未満の数なので、エはウのおよそ2倍くらいの数だと見当がつき、ウは5以下の数だとわかります。(ウが6だと、3000÷(1699÷6)=10.5… となって、1けたのエはありえません)
さらに、ウが5以下のとき、「1イ×ウ」は100以上にならないので、「ア×ウ」が16になることがわかります。
以上より、(ア,ウ)の組合せとして考えられるのは(8,2)か(4,4)だとわかります。

●(ア,ウ)=(8,2)のとき

「2×イ」の一の位が8なので、イに当てはまる数は4か9です。
しかし、イに4、9のどちらを入れても、「81イ×エ」の十の位を0にすることはできません。

●(ア,ウ)=(4,4)のとき

「4×イ」の一の位が8なので、イに当てはまる数は2か7です。
このとき、イに2を入れると、エを9としたとき「412×9」の答えの十の位を0にすることができます。
実際に「412×49」の計算をするとすべての条件を満たすので、これが答えだとわかります。

問題5

図のようにサイコロの面どうしがくっつくところを色分けします。
すると、例えば赤の面に1、紫の面に2、緑の面に3がくるようにサイコロを置けば外側の面がすべて4、5、6だけになるので合計が (4+5+6)×8=120 で最大となることがわかります。
同様に、例えば赤の面に4、紫の面に5、緑の面に6がくるようにサイコロを置けば外側の面がすべて1、2、3だけになるので合計が (1+2+3)×8=48 で最小となることがわかります。

問題6
アイ+ウエ=133 ……式A
エウ+イア=142 ……式B
ア+イウ+エ=61 ……式C
エ+ウイ+ア=70 ……式D
とします。
式Aより、イ+エの答えの一の位は3です。また、式Dより、ア+イ+エの答えの一の位は0です。
この2つを比べると、ア=10−3=7 とわかります。
また、式Bより、ア+ウの答えの一の位は2なので、ウ=12−7=5 とわかります。
さらに、式Cより、ア+ウ+エの答えの一の位は1なので、エ=21−7−5=9 とわかります。
最後に、式Aより、イ+エの答えの一の位は3なので、イ=13−9=4 とわかり、ア〜エすべてが求められました。

問題7
求める6けたの整数を「ア5イウ1エ」とします。
6の倍数は一の位が偶数、かつ、各位の和が3の倍数となります。
1+2+3+4+5+6=21 で3の倍数なので、「ア5イウ1エ」のエを偶数にすると、「ア5イウ1エ」が6の倍数になってしまいます。
よって、エは3と決まります。
また、「ア5イ」「5イウ」の各位に4・5・6を使うと、4+5+6=15 で各位の和が3の倍数になるので、ウやアを2にすることができません。
したがって、イは2となります。
ここまでで、「ア5イウ1エ」の候補は452613か652413にしぼられました。
652413の方は「24」が6の倍数になってしまいますが、452613はルールを満たしています。
よって、答えは452613です。

問題8

どちらか片方の正十角形に注目し、図のように白の部分を動かします。
すると、色をつけた部分が、正十角形を中心から10等分した二等辺三角形の2つ分であることがわかります。
求める面積はそれの2倍なので、80÷10×2×2=32(cm2) です。

問題9
まず、どこかたて1列にならんだ5つの台形について考えます。

上の図のように台形に線を引くと、5つの台形は下に行くほど青の平行四辺形の分だけ面積が増えていることがわかります。
よって、5つの台形の面積の値は等差数列になります。

したがって、元の図形の25個の台形すべてについて面積の関係がわかるように印をつけると次のようになります。

アは「○×3+●×1」となり、これが49cm2、イは「○×3+●×11」となり、これが134cm2にあたります。
ア+イは「○×6+●×12」で、49+134=183(cm2) にあたるので、○×1+●×2=183÷6=30.5(cm2) です。
台形ABCDの面積=○×25+●×50=(○×1+●×2)×25=30.5×25=762.5(cm2)

問題10

各位ごとの和で場合分けして、条件を満たせるかどうかを考えます。
 となる場合
0〜9の整数の和は 0+1+2+……+8+9=45 ですが、十の位と一の位で使われている8つの数の和が 11+8=19 で、残りの2つの数の和が 45−19=26 となってしまうので不可です。

 となる場合
一の位の和「C+E+G+I」と百の位の和「A+C+E+G」の差が10となっていますが、それを満たすためにはAとIの差が10でなくてはいけないので不可です。

 となる場合
45−(10+18)=17 より、使っていない1つの数とAの組は「8と9」だとわかります。
また、19−18=1 より、IはAよりも1小さい数になるため、A=8、I=7 に決まります。
この条件を守るような筆算としては、例えば下のようなものが考えられます。


 となる場合
C+E+G+I=A+C+E+G より、I=A となってしまうので不可です。

 となる場合
十の位と一の位で使われている8つの数の和が 30+18=48 となって45をこえてしまうので不可です。

 となる場合
AとIの差は 28−19=9 ですが、それを満たすためにはAを0、Iを9としなければならず、一番上の位が0となるので不可です。

 となる場合
十の位と一の位で使われている8つの数の和が 19+28=47 となって45をこえてしまうので不可です。

以上より、A=8、I=7 に決まることがわかります。

キッズBEE トライアル
<解答>
もんだい1 2+3+4+6=15 など(2、3、4、6は順不同)
もんだい2 22cm
もんだい3 
もんだい4 ア 1  イ 4  ウ 5  エ 6  オ 7
もんだい5 
もんだい6 2時55分
もんだい7 30cm
もんだい8 (とい1) 389  (とい2) 953210
もんだい9 61こ
もんだい10 (左から)A、C、D、E、B、G、H、F

<解説>
もんだい1
小さい数を4つたしてみると 1+2+3+4=10、大きい数を4つたしてみると 6+5+4+3=18 となるので、答えの十の位はかならず1になることがわかります。
のこった2、3、4、5、6の中から4つをえらんでたしてみると、
2+3+4+5=14
2+3+4+6=15
2+3+5+6=16
2+4+5+6=17
3+4+5+6=18
となって、じょうけんに合うのは「2+3+4+6=15」の式だとわかります。

もんだい2
黄色の長方形の1めもりの長さは 20÷4=5(cm)、緑の長方形の1めもりの長さは 20÷5=4(cm) です。
「?」は下の図のオレンジ色の線(5×2=10(cm))と水色の線(4×3=12(cm))の長さの合計なので、10+12=22(cm) です。


もんだい3
重なっている様子をよく見てしらべると、図の番号のじゅんに上から重なっていることがわかります。


もんだい4
アイウ+エオ=212  オエ+ウイア=617 の2つの式からわかることを考えます。

まず、「アイウ+エオ=212」を見ると、ウ+オ の一の位が2だとわかります。
このもんだいでは、ウ+オ=2 にすることはできないので、ウ+オ=12 と決まります。
また、十の位の イ+エ でもくり上がりがおこるので、イ+エ=10、 ア=2−1=1 と決まります。

次に、「オエ+ウイア=617」を見ます。
ア=1 なので、エ=7−1=6 です。
よって、イ=10−6=4 です。
オ+イ の一の位は1なので、オ+イ=11 と決まり、オ=11−4=7 とわかります。
また、十の位でくり上がりがおこるので、ウ=6−1=5 と決まり、ア〜オの数字がすべて決まりました。

もんだい5
だいすけとさくらからの見え方を図に表すと、下のようになります。

だいすけから見るとイの列の缶が見えていないので、2番と4番の缶がないことがわかります。
さくらから見るとBの列とEの列の缶が見えていないので、4番と8番と3番の缶がないことがわかります。


のこりの缶のうち、1番や9番の缶を取ると、だいすけからの見え方がかわってしまいます。
5番の缶を取ると、ピーターからの見え方がかわってしまいます。
6番や7番の缶を取ると、さくらからの見え方がかわってしまいます。
よって、1、5、6、7、9番の缶をのこさなくてはいけないことわかります。

もんだい6
行きも帰りも太郎くんの速さは同じなのに、行きにかかった時間が0分、帰りにかかった時間が10分となっています。
ですから、家か公園の時計がくるっていることがわかります。

家の時計が正しくて公園の時計がくるっているとすると、10÷2=5(分) なので、公園の時計が5分おくれていることがわかります。
(つまり、公園についた本当の時こくは3時5分、公園を出発した本当の時こくは3時35分ということです)
太郎くんは家から公園まで5分かかることがわかったので、太郎くんが家を出発したときの公園の時計は 3時−5分=2時55分 とわかります。

(公園の時計が正しく、家の時計が5分早いと考えてもよいです。)

もんだい7
図のように、線の長さをア、イ、ウ、エの記号であらわすことにします。同じ記号は同じ長さです。

BとCの周りの長さの合計は、ア、イ、ウ、エ 2つずつの合計となります。
AとDの周りの長さの合計も、ア、イ、ウ、エ 2つずつの合計となります。
つまり、どちらも等しくなります。
BとCの周りの長さの合計は 18+20=38(cm) なので、Dの周りの長さは 38−8=30(cm) です。

もんだい8
(とい1)
「最も小さな数」を考えるので、なるべくけたを少なくしなくてはいけません。
2けただと、それぞれの位の数字の合計を大きくしようとしても 9+8=17 より大きくすることはできません。
3けたであれば、合計を20にすることができます。
次に、上の位ほど小さい数を入れることを考えます。
そのためには、下の位に大きい数を入れればよいので、一の位を9、十の位を8として、百の位を 20−9−8=3 とすればよいです。
よって、答えは389です。

(とい2)
「最も大きな数」を考えるので、なるべくけたを多くしなくてはいけません。
7けただと、0+1+2+3+4+5+6=21 となって、それぞれの位の数字の合計を21より小さくすることはできません。
6けたであれば、合計を20にすることができます。
次に、上の位ほど大きい数を入れることを考えます。
そのためには、下の位に小さい数を入れればよく、一の位を0、十の位を1、百の位を2、千の位3とします。
もし一万の位を4とすると、20−0−1−2−3−4=10 となって、「十万の位が10」というおかしなことになってしまいます。
十万の位はなるべく大きい9にしたいので、そのときの一万の位は 20−1−2−3−9=5 となります。
よって、答えは953210です。

もんだい9
下の図のように分けると考えやすくなります。
赤の部分はどれも 4×4=16(こ)、緑の部分はどれも4こあるので、
16×3=48  4×3=12  48+12+1=61(こ) です。


もんだい10
Aは優勝なので左はし、Fは2勝したので右はしと決まります。

トーナメント表を見ると、Aと対戦したのはの人です。
よって、この2か所にCかEが当てはまります。
さらに、Dは「E君と対戦しました。」と言っているので、C、D、Eの場所が次のように決まります。

Bは「1勝はできてよかった。」と言っているのでに入り、Hは「B君とは対戦しなかったよ」と言っているのでに入るとわかります。
以上より、8人の場所が次のように決まります。


ライン

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