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2019年 算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズBEE トライアル 解答・解説


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算数オリンピック トライアル
<解答>
問題1 
問題2 
問題3 5月13日
問題4 22.5点
問題5 11回
問題6 3月15日
問題7 56cm2
問題8 36cm2
問題9 (1) 6,26,26,13,13,13  (2) 2036年12月31日

<解説>
問題1
次のようにア〜カとします。

ウ×1/2×カ=カ×2×1 なので、両辺からカを取り、ウ=2×1÷1/2=4 とわかります。
ア×イ×4=イ×1/2×2 なので、両辺からイを取り、ア=1/2×2÷4=1/4 とわかります。

ここまでで、1列の積が 1/4×1/2×1=1/8 になることがわかります。
よって、イ=1/8÷(1/4×4)=1/8
オ=1/8÷(4×1)=1/32
エ=1/8÷(1/2×1/32)=8
カ=1/8÷(2×1)=1/16
と求まります。

問題2
次のように、○の中に入る数をア〜カとし、4つの図をA,B,C,Dとよぶことにします。

ちなみに、A〜Dを式で表すと次のようになります。
 A ア+イ+ウ=16
 B ア+エ+オ=22
 C ア+ウ+カ=15
 D イ+エ+カ=8
Bの合計は22なので、ア、エ、オはいずれも大きめの数だと考えられ、22−(9+8)=5 より、ア、エ、オは5以上の数だとわかります。
次にDを見ると、イ、エ、カはいずれも小さめの数だと考えられますが、エは5以上なので、エが5で、イとカに1か2が入ることが決まります。
また、Bより、アとオに8か9が入ることも決まります。
さらに、AとCを比べると、イはカよりも1大きい数だとわかるので、イが2カが1と決まります。
Aより、ア+ウ=16−2=14 で、アは8か9なので、ウには6か5が入りますが、5はエで使われているので、ウが6アが8と決まります。
これで、オが9となることも決まり、6か所すべての数がわかりました。

問題3
カレンダーは、どこかの曜日には7の倍数がたてにならんでいて、その次の曜日には(7の倍数+1)がたてにならんでいて、その次の曜日には(7の倍数+2)がたてにならんでいて、……となっています。
つまり、Bさんの合計点は 7×□+0+1+2+3+4+5+6 = 7×□+21 という式で表すことができ、この答えは必ず7の倍数になります。
さらに、「合計得点は3人ともちょうど同じ」なので、3人の合計得点は 7×3=21 より、21の倍数です。
もし、ゲームをするのを忘れなければ、3人の合計得点は 1+2+3+……+31 = (1+31)×31÷2 = 496(点) です。
496÷21=23余り13 より、496から13を引けば21の倍数になるので、ゲームをし忘れたのは5月13日とわかります。

問題4
10個をならべたある列と、その列を左右ひっくり返した列を考えてみます。
例えば、
「1 2 3 4 5 6 7 8 9 10」と
「10 9 8 7 6 5 4 3 2 1」という感じです。
上の場合、2つのならべ方の点数の合計は、0点+45点=45点 となりますが、このならべ方に限らず、すべての組み合わせで点数の合計は45点となります。
よって、点数の平均は 45÷2=22.5(点) です。

問題5
「1」だけに注目すると、図1から図2の状態になるまでに、4回動いていることがわかります。
同様に、それぞれの数が何回動いているかを見ていくと、
「2」……3回  「3」……2回  「4」……2回  「5」……2回
「6」……2回  「7」……3回  「8」……2回  「9」……2回
となり、動いている回数の合計は 4+3+2+2+2+2+3+2+2=22(回) です。
1回の操作をすると2個の数字が動くので、操作を行う回数は最も少なくて 22÷2=11(回) とわかります。

<参考>
例えば以下のように動かすと、実際に11回の操作で図2の状態にできます。


問題6
「月」は1〜12のいずれか、「日」は1〜31のいずれかが入るので、「月/日」が表す分母は31以下になります。
365を素因数分解すると 365=5×73 なので、求める「月/日」が表す1年の割合は、約分したときに分母が5となるものです。
● 1年の1/5が過ぎるのは 365×1/5=73(日)=31+28+14 より、3月15日になった瞬間です。
  3/15=1/5 より、条件を満たしています。
● 1年の2/5が過ぎるのは 365×2/5=146(日)=31+28+31+30+26 より、5月27日になった瞬間です。
● 1年の3/5が過ぎるのは 365×3/5=219(日)=31+28+31+30+31+30+31+7 より、8月8日になった瞬間です。
● 1年の4/5が過ぎるのは 365×4/5=292(日)=31+28+31+30+31+30+31+31+30+19 より、10月20日になった瞬間です。

以上より、条件を満たすのは3月15日です。

問題7
まず、三角形ACDをマス目に書きこんでみると次のようになります。

次に、「角BACと角CADと角BADの大きさの和は90度」「AB=8cm」「BC=BD」の条件を守るように面ABCと面ABDをマス目に書きこむと次のようになります。

さらに、上図の赤線と等しい長さができるように面ACDをマス目に書きこむと次のようになります。

表面積はこの展開図の面積なので、8×8−8×1÷2×2=56(cm2) となります。

問題8

まず正十二角形の中心から、図1のように線を引いてみます。すると、中心の周りにできる角度は図1の通りになります。
ここで、赤い三角形に注目すると、角ア={360−(90+120×2)}÷2=15(度)、角イ=(360−60)÷2=150(度)、角ウ=180−(15+150)=15(度) となるので、赤い三角形は 角ア=角ウ の二等辺三角形であることがわかります。

次に、その二等辺三角形を他の場所にも作るように、図2のように線を引きます。
すると、ピンクの部分と緑の部分は合同な図形であることがわかります。全体の形は左右対称なので、右側にも同様に合同な図形があらわれます。

さらに、図3のように線を引くと、同じ印をつけたところがすべて合同な図形であることがわかります。
よって、色のついた部分の面積は正十二角形全体の半分、72÷2=36(cm2) となります。

問題9
(1) 99×● = (100−1)×● = 100×●−● と式を変形させてから考えると調べやすくなります。
   ○93 → ●=7 のとき、700−7=693 となります。
  73○○ → ●=74 のとき、7400−74=7326 となります。
  ○○73 → ●=27 のとき、2700−27=2673 となります。
3254○○ → ●=3287 のとき、328700−3287=325413 となります。
32○○54 → ●=3246 のとき、324600−3246=321354 となります。
○○3254 → ●=1346 のとき、134600−1346=133254 となります。

(2) (1)をよく見ると、整数を一の位から2けたずつ区切ってできる数をたすとすべて99になることがわかります。
(6+93=99  73+26=99  32+54+13=99)
このきまりを利用すると、「20190616」は、20+19+6+16=61 となるので、99に38足りません。
ただ、「月」の部分は12が最も大きく「日」の部分は31が最も大きい数なので、20190616+38=20190654 などとはできません。
よって、「今日」から考えて初めて99の倍数になるのは「20△△1231」という数です。
99−(20+12+31)=36 より、答えは2036年12月31日です。

ジュニア算数オリンピック トライアル
<解答>
問題1 (237×87の筆算)
問題2 2,3,7
問題3 2勝4敗
問題4 25
問題5 36cm2
問題6 15cm
問題7 (1) (う)  (2) (え)(か)
問題8 8888
問題9 135度

<解説>
問題1
次のようにア〜サとします。

まず、キ=9、カ=5 が決まります。
「アイウ×オ=1659」とわかるので、1659を素因数分解して「アイウ」とオの候補をさがします。
1659=3×7×79 なので、オは3か7で、オが3だとすると「アイウ」は 79×7=553、オが7だとすると「アイウ」は 79×3=237 となります。
「アイウ」が553のとき、「553×エ=クケコ6」となるような式は 553×2=1106 のみですが、これではかけ算の答えが「20サ19」となりません。
「アイウ」が237のとき、「237×エ=クケコ6」となるような式は 237×8=1896 のみとなり、このときは次のように正しい筆算が完成します。


問題2
まず、3の箱に1と2のメダルが入ること、5の箱に1と4のメダルが入ることがわかります。
また、1の箱には0と1のメダル、9の箱には4と5のメダルが入ることも決まります。

ここまでで1のメダルをすべて使っているので、2の箱には0と2のメダルが入ることがわかります。
また、4のメダルを2まい使っているので、8の箱には3と5のメダルが入ることがわかります。

残りのメダルを見ると、4の箱には0と4のメダル、6の箱には3と3のメダル、7の箱に2と5のメダルが入ることがわかります。
よって、「2」のメダルは、2、3、7の箱に入ります。

問題3
「3すくみの関係」になっているとき、その3人の勝敗は全員「1勝1敗」となります。
つまり、Aは、BとCを相手に1勝1敗、FとGを相手に1勝1敗していることがわかります。
Aは4勝2敗ですから、AとD、AとEの対戦はどちらもAが勝ったことがわかります。
Bについても同様に考えると、BとE、BとFの対戦はどちらもBが勝ったことがわかります。
Eは、CとDを相手に1勝1敗、FとGを相手に1勝1敗していて、Aには負け、Bにも負けているので、全部で2勝4敗です。

問題4
1回折りたたむと、紙の動く部分の表とうらの向きがぎゃくになります。
たとえば、1回目に折りたたむときに動くのは3、6、9で、それら3つは、それまで表向きだったものがうら向きにになっています。
この考え方を使うと、折りたたんでいくときに何回動いたのかを調べることで、その数字が表向きになっているのかうら向きになっているのかがわかります。

 1 → 2・3回目の折りたたみで動いているので2回動いている → 
 2 → 2回目の折りたたみだけ動いているので1回動いている  → うら
 3 → 1・2回目の折りたたみで動いているので2回動いている → 
 4 → 3回目の折りたたみだけ動いているので1回動いている  → うら
 5 → 1回も動いていない                  → 
 6 → 1回目の折りたたみだけ動いているので1回動いている  → うら
 7 → 3・4回目の折りたたみで動いているので2回動いている → 
 8 → 4回目の折りたたみだけ動いているので1回動いている  → うら
 9 → 1・4回目の折りたたみで動いているので2回動いている → 

以上より、表向きになっている数字をすべてたしあわせると、1+3+5+7+9=25 です。

問題5

まず正十二角形の中心から、図1のように線を引いてみます。すると、中心の周りにできる角度は図1の通りになります。
ここで、赤い三角形に注目すると、角ア={360−(90+120×2)}÷2=15(度)、角イ=(360−60)÷2=150(度)、角ウ=180−(15+150)=15(度) となるので、赤い三角形は 角ア=角ウ の二等辺三角形であることがわかります。

次に、先ほど見つけた二等辺三角形を作るように、図2のように線を引きます。
すると、ピンクの部分と緑の部分は合同な図形であることがわかります。全体の形は左右対称なので、右側にも同様に合同な図形があらわれます。

さらに、図3のように線を引くと、同じ印をつけたところがすべて合同な図形であることがわかります。
よって、色のついた部分の面積は正十二角形全体の半分、72÷2=36(cm2) となります。

問題6
一筆書きで線を引いていくとき、各頂点や交点に集まる線の本数は、スタートとゴールをのぞき偶数になります。
スタートとゴールが同じ場所のときはその点に集まる線の本数も偶数、スタートとゴールが別の場所のときはそれらの点に集まる線の本数は奇数となります。

このことを利用して、問題6の図形で最大何cm移動できるかを考えます。
問題6の図形の各頂点や交点に集まる線の本数を調べると、次のようになります。

奇数本の線が集まっている点が2個よりも多いので、この図形全体は一筆書きできません。
そこで、線を少しへらして、奇数本の線が集まる点がAともう1か所だけになるようにすることを考えます。
すると、上の図の緑色の太線を取れば、その両はしにある「3」がすべて「2」に変わってうまくいくことがわかります。
それ以外の黒線の長さの合計は15cmなので、点Pは最大で15cm移動できます。

問題7
このゲームに勝つためには「同じ形をはなれた場所に2か所作る」ということが重要になります。

(1) 1から5の真ん中に3があるので、Aが3を取ります。すると左側に「1 2」、右側に「4 5」という同じ形が2か所できます。
次にBが左側から2つ取ったら、その後にAが右側から2つ取れば勝てますし、もし、次にBが右側から1つ取ったら、その後にAが左側から1つ取ると、その後、BとAが1つずつ取ってAが勝てます。
このように、同じ形をはなれた場所に2か所作ることができたら、あとはBがやることを反対側でまねすればよいのです。
以上より、(1)の答えは(う)となります。

(2) 前の問題と同様に、1から7の真ん中に4があるので、Aが4を取れば同じ形をはなれた場所に2か所作ることができるのでAが勝てます。
●もしAが1を取ると、Bに4と5を取られて、同じ形をはなれた場所に2か所作られてしまうのでAが負けます。
●もしAが2を取ると、Bは3を取ります。その後、Aが1を取るとBが5と6を取ってBの勝ち、Aが4を取るとBが5と6を取ってBの勝ち、Aが4と5を取るとBが6か7のどちらかを取ってBの勝ち、Aが5を取るとBが6と7を取ってBの勝ち、Aが5と6を取ると自動的にBの勝ち、Aが6を取るとBが4と5を取ってBの勝ち、Aが6と7を取るとBが4か5のどちらかを取ってBの勝ち、Aが7を取るとBが5と6を取ってBの勝ち、となってどのようにしてもAは勝てません。(★)
●もしAが3を取ると、Bに4と5を取られて、同じ形をはなれた場所に2か所作られてしまうのでAが負けます。
●もしAが1と2を取ると、Bに5を取られて、同じ形をはなれた場所に2か所作られてしまうのでAが負けます。
●もしAが2と3を取ると、上の(★)と反対の立場になるので、Aが勝てます。
●もしAが3と4を取ると、Bに5を取られて、同じ形をはなれた場所に2か所作られてしまうのでAが負けます。

以上より、(2)の答えは(え)と(か)になります。

問題8
「面白い数」のうち、最も小さい数は1232です。
「面白い数」のうち、最も大きい数は7656です。

「面白い数」のうち、2番目に小さい数は1236です。
「面白い数」のうち、2番目に大きい数は7652です。

「面白い数」のうち、3番目に小さい数は1264です。
「面白い数」のうち、3番目に大きい数は7624です。
これらを見ると、「●番目に小さい数」と「●番目に大きい数」をたすと必ず8888になっていることがわかります。
(なぜそうなるかというと、8888自体が「面白い数」の条件にあてはまっていて、「(「面白い数」の条件にあてはまる数)−(「面白い数」の条件にあてはまる数)」を計算したものも必ず「面白い数」の条件にあてはまる数になるからです)
よって、答えは8888です。

問題9
方眼を用意し、次の図のように、与えられている直角三角形を置いてみます。

すると、中央にできる白い三角形が直角二等辺三角形になることがわかります。
よって、アとイの角の和は、180−45=135(度) です。

キッズBEE トライアル
<解答>
もんだい1 =10(青字の9、6、2と、赤字の6、1は順不同)
もんだい2 (あ) 2 (い) 1 (う) 5
もんだい3 16cm
もんだい4 6まい
もんだい5 58m
もんだい6 6940
もんだい7 @
もんだい8 A、E、G、K

<解説>
もんだい1
式の答えとして考えられそうな数は「10」か「20」です。
20を作ろうとして大きい数をたしても、9+6+6−1−1=19 となって20にとどきません。
10を作ろうとすると、9+6+2−6−1=10 などと作ることができます。

もんだい2
1行目を見ると「1,2,3,4,5」が左からじゅんにならんでいますが、2行目や3行目はそのようになっていないところがあります。
また、4行目を見ると数が1行目とぎゃくのむきにならんでいます。
このことをヒントにして、もう一度全体をよく見ると、「1,2,3,4,5」がうずまきのようにならんでいることがわかります。

よって、(う)に5、(い)に1、(あ)に2が入ることがわかります。

もんだい3
小さい正方形からじゅんに、まわりの長さと面積(広さ)をしらべてみます。
【1つのへんが1cmのとき】
まわりの長さは 1×4=4(cm)、面積は1cm2(1ぺん1cmのマスが1マス分)となるので、ちがいます。
【1つのへんが2cmのとき】
まわりの長さは 2×4=8(cm)、面積は2×2=4(cm2)(1ぺん1cmのマスが4マス分)となるので、ちがいます。
【1つのへんが3cmのとき】
まわりの長さは 3×4=12(cm)、面積は3×3=9(cm2)となるので、ちがいます。
【1つのへんが4cmのとき】
まわりの長さは 4×4=16(cm)、面積は4×4=16(cm2)となるので、数字が同じになっています。

よって、この正方形のまわりの長さは16cmです。

(「面積」は4年生以降で習う用語なので、説明なしに使うのはいかがなものかと思います……)

もんだい4
折ったものをじゅんに開いていくと、次のようになります。

この図を見ると、点線で6つの部分にわかれていることがわかります。
よって、6まいにわかれます。

もんだい5
長方形の長い方のへんの長さをア、みじかい方のへんの長さをイとします。
すると、ア+イ+ア=46m、イ+ア+イ=41m となることがわかります。
この2つの式をたしてみると、ア+イ+ア+イ+ア+イ=46+41=87m となります。
この中には「ア+イ」が3組入っているので、「ア+イ」1組の長さは、87÷3=29(m) です。
きかれているのは、「ア+イ+ア+イ」の長さなので、29×2=58(m)です。

<べつの考え方>
上と同じように、ア+イ+ア=46m、イ+ア+イ=41m から考えます。
この2つの式をくらべると、アはイより5m(46−41)長いことがわかります。
そこで、「イ+ア+イ=41m」のアを、イと交かんしてみます。
すると、「イ+イ+イ=41−5=36m」となるので、イは 36÷3=12(m) 、アは 12+5=17(m) とわかります。
ア+イ+ア+イ=17+12+17+12=58(m)

もんだい6
8この数をたてに書きならべてみると考えやすくなります。
  2 3 7 0
  5 2 4 2
  1 9 0 5
  3 6 4 5
  6 4 8 1
  2 1 8 0
  7 0 5 0
  6 7 0 3
何の位に同じ数がいくつ使われているかを見てみます。

千の位……2が2つ、6が2つあり、あとの5、1、3、7は1つずつです。
百の位……どの数も1つずつで、同じ数はありません。
十の位……4が2つ、0が2つ、8が2つあり、あとの7、5は1つずつです。
一の位……0が3つ、5が2つあり、あとの2、1、3は1つずつです。

全部で8か所の数字が合っていなければいけないので、千の位が2つ、百の位が1つ、十の位が1つ、一の位が3つ合っていなければならず、一の位が0であることがわかります。
  2 3 7
  5 2 4 2
  1 9 0 5
  3 6 4 5
  6 4 8 1
  2 1 8
  7 0 5
  6 7 0 3
一の位が0でないものだけを見ると、千の位で同じ数があるのは6だけになるので、千の位が6であることが決まります。
さらにのこりを見ると、十の位で同じ数があるのは4だけになるので、十の位が4であることが決まり、百の位はのこりの「1905」の9となります。
  2 3 7
  5 2
   0 5
  3 6
   4 8 1
  2 1 8
  7 0 5
   7 0 3
よって、正しい暗証番号は6940です。

もんだい7
ジグソーパズルは、でっぱりとへこみを組み合わせるパズルなので、でっぱりの数の合計とへこみの数の合計は同じになるはずです。
図の24ピースを見ると、でっぱりは全部で37こ、へこみは全部で39こあります。
よって、なくしたピースは、でっぱりがへこみよりも2こ多いピースだとわかります。
そのようなピースは@しかありません。

もんだい8
このもんだいでは、だれが何位でバトンをわたしたのか(ゴールしたのか)、だれがだれにバトンをわたしたのか、の2つを考えなくてはいけません。
そこで、下の図にわかることを書きくわえて、せいりしていきましょう。

まず、I「ぼくは2人ぬきました」、J「ぼくは2人にぬかされました」、L「ぼくはHくんからバトンをもらいました」を読むと、次のことがわかります。

上の図を見ると、GがKにバトンをわたしたことも決まります。
次に、K「ぼくは1人をぬきましたが、1人にぬかされました」より、Kのじゅんいがかわっていないことがわかります。
Jが1位から3位におちたことはわかっているので、Kは1位でも3位でもなく、2位だったことがわかります。つまり、Lは3位から1位になりました。

今度は、G「ぼくは1人にぬかされましたが、だれもぬいていません」、E「ぼくは1人ぬきました」、H「ぼくはEくんからバトンをもらっていません」に注目します。
Gは1人にぬかされて2位でバトンをわたしているので、はじめは1位だったことがわかります。
GとIのはじめのじゅんいがわかったので、Hのはじめのじゅんいは2位と決まります。
Eは1人ぬいたので3位でバトンをわたしてはいません。さらに、Hにもわたしていません。
このことから、EはGにバトンをわたしたことがわかり、Eがはじめに2位だったこともわかります。

次は、F「ぼくはだれもぬかず、だれにもぬかされませんでした」、D「ぼくは1人にぬかされました」に注目します。
これらを見ると、Fのじゅんいがかわらなかったことや、Dがはじめに3位でなかったことがわかります。
よって、Fのはじめのじゅんいが3位で3位のままIにバトンをわたしたこと、Dのはじめのじゅんいが1位でHにバトンをわたしたことがわかります。

さいごに、A、B、C3人の会話より、AがEに、BがFに、CがDにバトンをわたしたことがわかり、図が完成しました。

以上より、2位になったチームの走者は、A、E、G、Kです。

ライン

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