２０２０年　算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズBEE（在宅受験）　解答・解説

算数オリンピック
＜解答＞
問題１　
問題２　７２８１６３５４９
問題３　
問題４　１５cm
問題５　ア　１００１１０１　　イ　１１１００１
問題６　（３，５，６，７），（３，５，６，８）
問題７　十の位　６　　一の位　５
問題８　７０cm2
問題９　１の裏　４　　２の裏　５　　３の裏　１　　４の裏　３　　５の裏　２
問題10　１８１６０
問題11　７２通り
問題12　５７６cm2

＜解説＞
問題１
下のようにア〜カの記号をつけて説明します。

＜条件＞より、「６＋１＋ア＋イ」と「ア＋イ＋エ＋オ」が等しいので、エ＋オ＝７　とわかります。
同様に、１＋４＝オ＋カ　となるので、オとカには２と３のどちらかが入ります。
もし、オ＝３　だとすると、エ＝７−３＝４　となって４が２つになってしまうので、オ＝２、カ＝３　がわかり、エ＝７−２＝５　もわかります。

次に、「６＋１＋ア＋イ」と「１＋４＋イ＋ウ」が等しいので、６＋ア＝４＋ウ　となって、アにはウより２小さい数が入ることがわかります。
まだ入れていない数字は７、８、９なので、ア＝７、ウ＝９　とわかり、残りの８がイに入ります。

問題２
かけ算九九の答えに、十の位が９になるものはありません。
また、一の位が９になる２けたの数は４９しかありません。
よって、答えの９けたの数の下２けたは４９と決まります。
さらに、一の位が７になる２けたの数は２７しかなく、十の位が７になる２けたの数は７２しかないため、９けたの数の途中の位に７がくることはありえません。
したがって、答えの９けたの数の上２けたは７２と決まります。
ここまでで、９けたの数が「７２●●●●●４９」となることがわかります。

かけ算九九の答えで十の位が８になるものは８１のみです。
一の位が８になるものは１８、２８、４８がありますが、１８は１を使っているので使えず、「７２●●●●●４９」が決まっているので４８を作ることもできません。
よって、９けたの数の上から３けた目が８、上から４けた目が１になることが決まります。
ここまでで、９けたの数が「７２８１●●●４９」となることがわかります。

あとは、残りの３つの●に３、５、６を当てはめてルール通りになるような数を考えると、７２８１６３５４９しかないことがわかります。

問題３
下のようにア〜キの記号をつけてせつめいします。

まず、ウ・３・８の関係を見るとウに３より小さい数が入ることがわかりますが、０を入れてしまうとオに入る数が無くなるので、ウに１、オに０が入ることがわかります。
また、０・８・カの関係を見ることで、カに９しか入らないことも決まります。

次に、ア、イ、エ、キの大小関係について考えます。
０、１、２がすでに使われているので、アには３よりも大きい数が入り、イにはアよりも大きい数が入ります。
また、イには８よりも小さい数が入るので、エにはイよりも小さい数が入ります。
さらに、キにはエよりも小さい数が入ることもわかります。
よって、ア＜イ、イ＞エ＞キ　という関係があることがわかるので、イには７が当てはまることが決まります。
アに当てはまる数は４、５、６のいずれかで、どれを当てはめるかによってエとキに当てはまる数も自動的に決まります。
以上より、答えは次の３通りとわかります。
　　　　

問題４

図のようにＡ、Ｈから正五角形の下の辺に垂直に線を引いてみます。
すると、赤線の長さはどちらも等しいので、ＡＤとＩＪの長さが等しいことがわかります。
ＥＦの長さ（正五角形の一辺の長さ）を「ア」、ＦＧの長さを「イ」とすると、ＡＤ（＝ＩＪ）の長さはア２つ分とイ１つ分であることがわかります。
よって、四角形ＡＢＣＤの周りの長さはア５つ分とイ１つ分を合わせたものとわかります。
三角形ＥＦＧの周りの長さはア２つ分とイ１つ分を合わせたものなので、それらの差はア３つ分、つまり、５×３＝１５(cm)　です。

問題５
下のように、７けたのゼロイチ数「ア」と６けたのゼロイチ数「イ」のかけ算の筆算を考えてみます。


筆算の白い□にはすべて０か１しか入らないので、まずは次のように０と１が決まります。


このとき、Ａの一の位が１なのに対し、Ｂの一の位は０になっています。
よって、イの一の位が１、十の位が０であることがわかります。
また、筆算より、アの一の位が１、十の位が０であることがわかり、さらに、ＡとＦには同じ数が当てはまることもわかるので次のように決まります。


次に、Ａの千の位とＤの一の位の和が２にならなければいけないことからその２マスには１が入ることとなり、イの千の位が１、アの千の位が１であることも決まります。


答えの十億の位と一億の位に注目すると、そのたてにならぶ残りの□に０が入ることが決まります。
それがわかることによって、答えの百万の位を３にするためにＥの百の位を１にしなければいけないこともわかり、筆算が次のように決まります。


よって、アは１００１１０１、イは１１１００１です。


問題６
もし、Ａさんが１や２を持っていると、それらを１枚だけ選んだときにＢさんは作ることができません。
よって、１と２はＢさんが持っていることがわかります。
また、１＋２＋３＋……＋９＝４５、４５÷２＝２２余り１　より、Ａさんの持っている４枚のカードすべての合計が２２以下、Ｂさんの持っている５枚のカードすべての合計が２３以上であることもわかります。

Ｂさんが１、２の他に３も持っているとすると、２３−(１＋２＋３)＝１７　より、Ｂさんの残りの２枚は８と９になりますが、１、２、３、８、９の５枚では７などを作ることができません。
よって、３はＡさんが持っています。

次に、Ａさんが４を持っているとすると、Ｂさんは４以下のカードを１と２しか持っていないので、４を作ることができません。
よって、４はＢさんが持っています。

Ｂさんは１、２、４を持っているので、２３−(１＋２＋４)＝１６　より、Ｂさんの残りの２枚は「８と９」「７と９」しかありえません。
Ｂさんが１、２、４、８、９を持っているとき、Ａさんは３、５、６、７を持っていて、Ａさんが作ることができる数をＢさんは全部作ることができます。
Ｂさんが１、２、４、７、９を持っているとき、Ａさんは３、５、６、８を持っていて、Ａさんが作ることができる数をＢさんは全部作ることができます。
よって、この２通りが答えになります。

【参考】
２進法の考え方を使うと、１、２、４、８、１６、……、という数を組み合わせれば１以上のすべての整数を作ることができるので、１、２、４、８の４枚をＢさんが持っていれば１〜１５の整数をすべて作れることができるとわかり、答えの見当がつきやすくなります。


問題７
Ａ＝(１＋１０)×１０÷２＝５５　です。
Ｂに使われる数を素因数分解すると、５が２つ、２が２つ以上あるので、この積の十の位と一の位は「００」となります。
Ｃ＝(２１＋３０)×１０÷２＝２５５　です。
Ｄに使われる数を素因数分解すると、５が２つ、２が２つ以上あるので、この積の十の位と一の位は「００」となります。
Ｅ＝(４１＋５０)×１０÷２＝４５５　です。
Ｆに使われる数を素因数分解すると、５が２つ、２が２つ以上あるので、この積の十の位と一の位は「００」となります。

以上より、５５×３＝１６５　となって、Ａ〜Ｆの和の十の位は６、一の位は５とわかります。


問題８

図のようにア〜サとすると、問題文より、イ＝６１cm2、エ＝１０cm2、オ＝７cm2、コ＝６cm2　です。
「オ＋カ＋キ＋ク」の三角形は平行四辺形ＡＢＣＤの半分の面積です。
また、「イ＋カ＋コ」の三角形と「エ＋ク」の三角形を合わせた面積も、平行四辺形ＡＢＣＤの半分の面積です。
よって、オ＋カ＋キ＋ク＝イ＋カ＋コ＋エ＋ク　とわかります。
この式の両辺からカとクを取ると、オ＋キ＝イ＋コ＋エ　となります。
よって、キの面積は、キ＝イ＋コ＋エ−オ＝６１＋６＋１０−７＝７０(cm2)　です。

問題９
１＋２＋３＋４＋５＝１５　で１５は３の倍数です。
１＋５＝６、６は３の倍数なので、「１」と「５」を裏返して５枚の合計を３の倍数のままにするには、「１」の裏と「５」の裏の和も３の倍数でなくてはいけません。
同様に、「１」の裏と「２」の裏の和も３の倍数、「３」の裏と「４」の裏の和は３でわって１余る数になることがわかります。
もし、「１」の裏が３だと、「５」の裏や「２」の裏も３の倍数でなくてはいけませんが、１〜５の中の３の倍数は３しかないので、「１」の裏は３ではありません。
また、同じ理由で「５」の裏や「２」の裏も３ではなく、「表と裏の数字は異なる」という条件から「３」の裏も３にはならないので、「４」の裏が３であることがわかります。

「３」の裏と「４」の裏（３）の和は３でわって１余る数になるので、「３」の裏は１か４です。
●「３」の裏が４のとき
「１」の裏を１にしないと、「１」の裏と「５」の裏の和が３の倍数、「１」の裏と「２」の裏の和が３の倍数になるという条件を守れません。
しかし、それでは「表と裏の数字は異なる」という条件に反します。

●「３」の裏が１のとき
「１」の裏を４、「５」の裏を２、「２」の裏を５とすると、すべての条件を守ることができます。

よって、「１」の裏は４、「２」の裏は５、「３」の裏は１、「４」の裏は３、「５」の裏は２　となります。

問題10
Ａに２０２０をたすと、２０２１けたの２０２０の倍数の中で最も小さい数となります。
そこで、まずはその数を求めることを考えます。
２０２０＝１０１×２０　で、１０１の倍数であり２０の倍数でもある数は２０２０の倍数と言えるので、１０１００、１０１０００、１０１００００、……といった数は２０２０の倍数です。
この考え方を利用すると、例えば、
１０１００＋１０１００００００−１０１００００＝１０００００１００
１０１００＋１０１００００００＋１０１００００００００００−（１０１００００＋１０１００００００００）＝１０００００００００１００
というように、（４の倍数＋１）けたの数であれば、「１００００…（間はずっと０）…００１００」という数が必ず２０２０の倍数になることがわかります。
よって、２０２１けたの２０２０の倍数の中で最も小さい数は「１００００…（間はずっと０）…００１００」という数で、そこから２０２０を引いたＡは、
「９９９９９…（間はずっと９）…９９９８０８０」という数であることがわかります。
この数の各けたの数字の和は、９×(２０２０−４)＋８＋０＋８＋０＝１８１６０　です。

問題11
「お」に入れる数と同じ数が他の８マスに入らないことは明らかです。

「い」に入れる数と等しい数をどこに入れるかで場合分けします。
●「い」と「く」を等しくするとき
「あ」と「き」は必ず等しくなり、「う」と「け」も必ず等しくなります。
また、「あ」「き」「う」「け」を等しくする場合は「え」と「か」が等しくなり、「あ」「き」「か」を等しくする場合は「う」「け」「え」が等しくなります。
よって、この場合の数の入れ方は、４×３×２×１×２＝４８(通り)　です。

●「い」と「き」を等しくするとき
「け」も、「い」や「き」と等しくしなくてはならず、「え」と「か」が等しくなること、「あ」「く」「う」が等しくなることも決まります。
よって、この場合の数の入れ方は、４×３×２×１＝２４(通り)　です。

以上より、４８＋２４＝７２(通り)　です。


問題12

上図のように１枚の正方形と４枚の二等辺三角形をならべ、この面積を考えます。
２本の赤線は垂直なので、下図のように線を引くと、水色の直角二等辺三角形４つと緑色の正方形１つができます。

水色の直角二等辺三角形の一番長い辺は１２cm、緑色の正方形の一辺は１２cmなので、全体の面積は、１２×６÷２×４＋１２×１２＝２８８(cm2)　です。
問題の立体の表面積はその２倍になるので、２８８×２＝５７６(cm2)　です。

ジュニア算数オリンピック
＜解答＞
問題１　(1)　４と６（逆も可）　　(2)　４と７（逆も可）
問題２　
問題３　３円玉　０まい，５円玉　４まい，７円玉　１まい
問題４　１，２，４，６，７，８，９
問題５　ア　１１００１　　イ　１１０１　
問題６　１８，２１，２４，２７，３０
問題７　ロボットＡ　パー　　ロボットＢ　グー　　ロボットＣ　グー
問題８　１６cm2
問題９　
問題10　
問題11　(1)　４５個　　(2)　１６０通り
問題12　７７cm2

＜解説＞
問題１
(1)　４と６を入れかえると「６×７＝４２」という正しい式ができます。

(2)　数の大きさを手がかりとして考えると、「５×４」の５か４と「７１」の７を入れかえると予想できます。
　　４と７を入れかえると「５×７＋６＝４１」という正しい式ができます。

問題２
「４つのグループの数の和はそれぞれ等しい」ので、７つの数の和は４の倍数です。
また、「３つのグループの数の和もそれぞれ等しい」ので、７つの数の和は３の倍数でもあります。
よって、７つの数の和は４と３の公倍数、つまり１２の倍数であることがわかります。
また、
１＋２＋３＋……＋７＝(１＋７)×７÷２＝２８
３＋４＋５＋……＋９＝(３＋９)×７÷２＝４２
より、７つの数の和は２８以上４２以下となり、その中の１２の倍数は３６のみなので、７つの数の和は３６とわかります。
３６÷４＝９　より、太線で区切られてできるグループそれぞれの和は９です。
また、３６÷３＝１２　より、破線で区切られてできるグループそれぞれの和は１２です。　

ここからは、下のようにア〜キの記号をつけて説明します。

まず、アが９であることがわかります。
ア＋イ＋ウ＝１２　なので、１２−９＝３＝１＋２　より、イとウには１と２が入ることがわかります。
この図は左右対称なので、ここでは　イ＝１、ウ＝２　とします。
イ＋エ＝９　なので、エ＝９−１＝８　です。
ウ＋オ＝９　なので、オ＝９−２＝７　です。
エ＋カ＝１２　なので、カ＝１２−８＝４　です。
オ＋キ＝１２　なので、キ＝１２−７＝５　です。
よって、数を入れた後の図は下のようになります。


問題３
７円玉を３まい以上持っていたら２１円ぴったり払えるので、Ａさんが持っている７円玉は２まい以下です。
また、おつりの２まいが３円玉と５円玉１まいずつだとすると、Ａさんは３円玉と５円玉を１まいもはらっていないことになります。
よって、おつりは「３円玉２まい」か「５円玉２まい」だったことがわかります。
Ａさんがはらったお金は、おつりが「５円玉２まい」だとすると　２１＋５×２＝３１(円)、おつりが「３円玉２まい」だとすると　２１＋３×２＝２７(円)　です。
３１円は、３円玉１まいと７円玉４まいで作れますが、７円玉が３まい以上になるので不可です。
２７円は、５円玉４まいと７円玉１まい、合計５まいで作れます。
以上より、Ａさんが持っていたのは、３円玉０まい、５円玉４まい、７円玉１まいです。

問題４
実際に方眼紙に正方形をかいて考えます。
●一番大きい正方形が１辺１１cmのとき

上の図のように残りの部分が細長くなってしまうので、そこから他の大きさの正方形を切り出しても余る部分が大きくなってしまいます。
また、１辺１２cm以上の正方形を切り出しても同様の理由でできなくなることは明らかです。

●一番大きい正方形が１辺１０cmのとき

上の図のように残りの部分で１辺が７cm、６cm、５cm、４cm、２cm、１cmの正方形が切り出せますが、残りが４cm2の紙片になりません。

●一番大きい正方形が１辺９cmのとき

上の図のように、１辺９cmの正方形のとなりに１辺８cmの正方形と１辺６cmの正方形を作ることとなり、その後も図のように正方形を作っていくと条件に合います。
よって、切り出された７つの正方形の一辺の長さは、小さい順に１cm、２cm、４cm、６cm、７cm、８cm、９cmです。

問題５
下のように、５けたのゼロイチ数「ア」と４けたのゼロイチ数「イ」のかけ算の筆算を考えてみます。


筆算の白い□にはすべて０か１しか入らないので、まずは次のように０と１が決まります。


このとき、Ａの一の位が１なのに対し、Ｂの一の位は０になっています。
よって、ゼロイチ数「イ」の一の位が１、十の位が０であることがわかり、さらに、Ａ、Ｃ、Ｄには同じ数が当てはまることもわかるので次のように決まります。


あとは、答えの十万の位を見ると、そのすぐ上のマスに０が当てはまることがわかるので、ゼロイチ数「ア」が１１００１、ゼロイチ数「イ」が１１０１であることがわかります。

問題６
黒のカードには３の倍数が書かれているので、Ｃがとった黒のカードに書かれた数の合計は必ず３の倍数になります。
赤のカードには３でわると１余る数、青のカードには３でわると２余る数が書かれており、どちらも、合計を３の倍数にするためには３まいとらなくてはいけません。
よって、３人がとったカードのまい数は３まいずつです。

黒のカード３まいで作れる最も小さな数は、３＋６＋９＝１８　で、これは赤のカードで　１＋７＋１０　など、青のカードで　２＋５＋１１　などと作ることができます。
赤のカード３まいで作れる最も大きな数は、７＋１０＋１３＝３０　で、これは青のカードで　５＋１１＋１４　など、黒のカードで　６＋９＋１５　などと作ることができます。
そして、１８以上３０以下のすべての３の倍数は赤、青、黒のどのカードでも作ることができるので、○として考えられる数は１８、２１、２４、２７、３０となります。

問題７
Ａはチョキとパー、Ｂはグーとチョキ、Ｃはグーとパーしか出せないので、３台の最初の手の出し方は次の８通りです。


上の表のア〜クそれぞれについて、２回目以降の手の出し方を考えます。
ただし、ロボットＢは１回も勝てなかったと言っているので、ア、エ、クの場合は最初からのぞきます。

●１回目がイのとき
作戦にしたがうと、（Ａ，Ｂ，Ｃ）の手が、
（チョキ，グー，パー）→（パー，チョキ，グー）→（チョキ，チョキ，グー）→（パー，グー，パー）→（パー，チョキ，グー）→　……
となり、赤字の部分がくり返されていくことがわかります。
これでは、Ｃが負けるときがありません。

●１回目がウのとき
作戦にしたがうと、（Ａ，Ｂ，Ｃ）の手が、
（チョキ，チョキ，グー）→（パー，グー，パー）→（パー，チョキ，グー）→（チョキ，チョキ，グー）→　……
となり、赤字の部分がくり返されていくことがわかります。
これでは、Ｃが負けるときがありません。

●１回目がオのとき
作戦にしたがうと、（Ａ，Ｂ，Ｃ）の手が、
（パー，グー，グー）→（パー，チョキ，グー）→（チョキ，チョキ，グー）→（パー，グー，パー）→（パー，チョキ，グー）→　……
となり、赤字の部分がくり返されていくことがわかります。
このときは青字の部分でＣが負けており、３台のロボットのコメントと合っています。

●１回目がカのとき
作戦にしたがうと、（Ａ，Ｂ，Ｃ）の手が、
（パー，グー，パー）→（パー，チョキ，グー）→（チョキ，チョキ，グー）→（パー，グー，パー）→　……
となり、赤字の部分がくり返されていくことがわかります。
これでは、Ｃが負けるときがありません。

●１回目がキのとき
作戦にしたがうと、（Ａ，Ｂ，Ｃ）の手が、
（パー，チョキ，グー）→（チョキ，チョキ，グー）→（パー，グー，パー）→（パー，チョキ，グー）→　……
となり、赤字の部分がくり返されていくことがわかります。
これでは、Ｃが負けるときがありません。

以上より、３台のロボットが最初に出した手は、Ａがパー、Ｂがグー、Ｃがグーです。

問題８
等しい長さの辺に注目して３つの三角形を組み合わせると、下のように大きな直角二等辺三角形ができることがわかります。

よって、面積は　８×(８÷２)÷２＝１６(cm2)　です。

問題９
まず、右上の「３」の３本の道の引き方が決まります。
その左どなりの「４」は、４から右下に道が引けなくなったので、のこりの４か所に道を引くことが決まります。


次に、左上の「２」は、２から右下に道が引けなくなったので、下に引くことが決まります。
左列真ん中の「２」からはすでに２本の道が引かれているので、その下の「２」は右と右上に道を引くこととなります。


真ん中列下の「１」からはすでに１本の道が引かれているので、その右の「２」は上と左上に道を引くこととなります。
最後に、まだ道の数が足りていない「５」と「３」を結べば、条件通りの道が完成します。


問題10
下のようにア〜シの記号をつけて説明します。



まず、「キ＋４＝１２」「１＋カ＋１＝１０」となることから、キ＝８、カ＝８　が決まります。
次に、「アイウ×エ＝ケ６１４」に注目します。
「ケ６１４」の下２けたの１４が４の倍数ではないので、「ケ６１４」は２の倍数ですが４の倍数ではありません。
よって、「アイウ」も「エ」も４の倍数でなく、「アイウ」と「エ」が両方偶数であることもありえません。
このことと、エ×ウの一の位が４となることに注目して、（エ，ウ）の組み合わせとしてありえるものを書き出すと、
（１，４）（２，７）（３，８）（６，９）（７，２）（９，６）
となります。

●（エ，ウ）が（１，４）のとき
「アイ４×１」が４けたになることはないので不可です。

●（エ，ウ）が（２，７）のとき
「アイ７×２＝ケ６１４」を完成させると「８０７×２＝１６１４」となりますが、８０７×７＝５６４９　となって「オ８８ク」に合わないので不可です。

●（エ，ウ）が（３，８）のとき
「アイ８×３＝ケ６１４」を完成させると「５３８×３＝１６１４」となりますが、５３８×７＝３７６６　となって「オ８８ク」に合わないので不可です。

●（エ，ウ）が（６，９）のとき
「アイ９×６＝ケ６１４」を完成させると「２６９×６＝１６１４」となる上に、２６９×７＝１８８３　となって「オ８８ク」にも合います。

●（エ，ウ）が（７，２）のとき
「アイ２×７＝ケ６１４」を完成させると「８０２×７＝５６１４」となりますが、８０２×７＝５６１４　となって「オ８８ク」に合わないので不可です。

●（エ，ウ）が（９，６）のとき
「アイ６×９＝ケ６１４」を完成させると「８４６×９＝７６１４」となりますが、８４６×７＝５９２２　となって「オ８８ク」に合わないので不可です。

以上より、この筆算として当てはまるものは「２６９×６７」の筆算だとわかります。
実際に筆算をすると以下のようになります。



問題11
(1)　十の位が９のときの一の位は８〜０の９通り、十の位が８のときの一の位は７〜０の８通り、十の位が７のときの一の位は６〜０の７通り、……となり、１通りずつへっていきます。
よって、９＋８＋７＋……＋１＝(９＋１)×９÷２＝４５(通り)

(2)　もし、２つの数の和が３けたになるとすると、その百の位は必ず１になるので「良い数」にできません。
よって、２つの数の十の位の和が９以下になるように選びます。
そのとき、一の位の和は必ず十の位の和よりも小さくなるので、必ず「良い数」ができます。
選ぶ２つの数の十の位の組み合わせとして考えられるのは、
（８と１）（７と２）（７と１）（６と３）（６と２）（６と１）（５と４）（５と３）（５と２）（５と１）（４と４）（４と３）（４と２）（４と１）（３と３）（３と２）（３と１）（２と２）（２と１）
です。それぞれの場合の選び方が何通りあるかを調べると、
（８と１）→８×１＝８(通り)　　　　（７と２）→７×２＝１４(通り)
（７と１）→７×１＝７(通り)　　　　（６と３）→６×３＝１８(通り)
（６と２）→６×２＝１２(通り)　　　（６と１）→６×１＝６(通り)
（５と４）→５×４＝２０(通り)　　　（５と３）→５×３＝１５(通り)
（５と２）→５×２＝１０(通り)　　　（５と１）→５×１＝５(通り)
（４と４）→４×３÷２＝６(通り)※　（４と３）→４×３＝１２(通り)　
（４と２）→４×２＝８(通り)　　　　（４と１）→４×１＝４(通り)
（３と３）→３×２÷２＝３(通り)※　（３と２）→３×２＝６(通り)
（３と１）→３×１＝３(通り)　　　　（２と２）→２×１÷２＝１(通り)※
（２と１）→２×１＝２(通り)
（※　例えば「４２と４３」「４３と４２」は同じ選び方なので、十の位が同じものどうしの組み合わせは「÷２」をしなければいけないことに注意が必要です。）

以上のものをすべてたすと、１６０通りあることがわかります。

問題12
どこか１つの正方形を中心として見ると、その周りについている正方形はすべて点対称もようになっています。
よって、正方形の中心どうしを直線で結ぶと、下図のように合同な正方形があらわれます。

あらわれた正方形１つ分の面積は、赤の部分１つが１７cm2の正方形の1/4、青の部分１つが５cm2の正方形の1/4なので、
１７÷４×２＋５÷４×２＝１１(cm2)　です。

問題の八角形は、この正方形５つと正方形を半分にした三角形４つを組み合わせた形なので、正方形７つ分の面積になります。
１１×７＝７７(cm2)

キッズＢＥＥ
＜解答＞
もんだい１　８
もんだい２　（とい１）１３人　（とい２）７人
もんだい３　
もんだい４　３０cm
もんだい５　�@
もんだい６　４２こ
もんだい７　２６こ
もんだい８　２８秒
もんだい９　大きい数…４５　小さい数…４２
もんだい10　１…４ｇ　２…２ｇ　３…１ｇ　４…５ｇ　５…３ｇ
もんだい11　（とい１）１７１　（とい２）１３５　（とい３）５しゅるい

＜解説＞
もんだい１
下のようにイ〜カの記号をつけてせつめいします。



イ＋オ　は、十の位のくり上がりがなければ６ですが、のこっている数（２，３，５，７，８，９）を当てはめても６を作ることはできません。
よって、十の位でくり上がりがおこっていて、イ＋オ＝５　となることがわかります。
のこっている数で５が作れるのは　２＋３　だけなので、イとオには２と３が当てはまります。
一の位の　エ＋１　でくり上がりがおこるとすると、９＋１＝１０　で、アが０となってしまうので、一の位でくり上がりはおこりません。
よって、ウ＋カ＝１４　となることがわかり、ウとカには５と９が当てはまります。
のこっているのは７と８なので、エに７、アに８が入ることが決まります。

もんだい２
もんだい文を図にまとめると、下のようになります。

【とい１】
はじめにどちらの手もあげていなかった人は、３２−１９＝１３(人)　です。

【とい２】
はじめに右手をあげていなかった人は、３９−１９＝２０(人)　です。
よって、はじめに左手をあげていた人は、２０−１３＝７(人)　です。

もんだい３
下のようにア〜カの記号をつけてせつめいします。

一番小さい「０」と一番大きい「９」は「２つの数字の間」に入らないので、オとカに入ることがわかります。
もし、カに９を入れると、ウに入る数字がなくなってしまうので、オに９、カに０が入ることが決まります。

６と３とウを見ると、ウには３より小さい数字が入るので、２と決まります。
７をアに入れるとイに入る数字がなく、７をイに入れるとエに入る数字がないので、７はエに入ります。

あとは、アに４、イに５を入れれば、すべての数字がルール通りに当てはまることがわかります。

もんだい４

上の図の同じ色どうしの線の長さをくらべてみます。
すると、長い方の線の長さはどれも、みじかい方の線の長さの２倍になっていることがわかります。
ＡからＢまで時計まわりに進んだときの長さの２０cmは、それぞれの色の長い方の合計になっています。
ですから、のこりの線の長さの合計（それぞれの色のみじかい方の長さの合計）は、２０÷２＝１０(cm)　です。
よって、まわりの長さは　２０＋１０＝３０(cm)　です。

もんだい５

上の図の色をつけたつみ木を見ると、答えが�@か�Cのどちらかであることがわかります。
○をつけた部分を見ると、もし上から見て�Cのように見えたとすると、中央の下の部分で○をつけた２つのつみ木がかさなってしまいます。
よって、答えは�@です。

もんだい６
「どの３つのふくろの中の玉を合計しても」と書いてあるので、玉の数がきょくたんに少ないふくろがあると、のこりのふくろの玉の数を多くしなければならず、４つのふくろの中に入っている玉の合計がふえてしまいます。
（たとえば、玉が０このふくろがあると、のこりの３つが「１５こ・１６こ・１６こ」となり、合計が４７こになります。）
そこで、４つのふくろすべてに同じくらいの玉が入るようにします。
３１÷３＝１０あまり１　なので、どのふくろにも１０こくらいの玉を入れればよいとわかりますが、たとえば「１０こ・１０こ・１０こ・１１こ」だと、１０このふくろ３つをえらんだときに合計が３０ことなってしまいます。
「１０こ・１０こ・１１こ・１１こ」であれば、どの３つのふくろをえらんでも合計が３１こ以上になりますので、これがもっとも少ない場合になります。
１０＋１０＋１１＋１１＝４２(こ)

もんだい７
十の位と一の位がどちらも２以上の数だと、たとえば、
「２２」→　２＋２＝４　　２×２＝４
「３５」→　３＋５＝８　　３×５＝１５
「２９」→　２＋９＝１１　２×９＝１８
のように、かけ算した答えの方がたし算した答えより大きくなるか、同じになります。
はんたいに、もし十の位か一の位のどちらかに０か１があれば、
「３０」→　３＋０＝３　　３×０＝０
「１７」→　１＋７＝８　　１×７＝７
「９１」→　９＋１＝１０　９×１＝９
「１１」→　１＋１＝２　　１×１＝１
のように、かけ算した答えの方がたし算した答えより小さくなります
ですから、十の位か一の位に０や１がある数が何こあるかをかぞえれば、それがこのもんだいの答えになります。
十の位か一の位に０や１がある数は、
１０，１１，１２，１３，１４，１５，１６，１７，１８，１９，
２０，２１，３０，３１，４０，４１，５０，５１，６０，６１，７０，７１，８０，８１，９０，９１
の２６こあります。

もんだい８
もし、Ｃさんの１周目が１８秒だったとすると、Ｃさんの２周目は１９秒で、２周の合計は３７秒になります。
そのとき、１周目が２０秒だった人は２周目を２１秒か２３秒で走ることになるので、２周の合計は４１秒か４３秒です。
また、１周目が２２秒だった人は２周目を２３秒で走ることになるので、２周の合計は４５秒です。
下線を引いた３つの時間が２秒ずつのちがいにならないので、Ｃさんの１周目が１８秒でないことがわかります。

もし、Ｃさんの１周目が２０秒だったとすると、Ｃさんの２周目は２１秒で、２周の合計は４１秒になります。
そのとき、１周目が１８秒だった人は２周目を１９秒か２３秒か２５秒で走ることになるので、２周の合計は３７秒か４１秒か４３秒です。
また、１周目が２２秒だった人は２周目を２３秒か２５秒で走ることになるので、２周の合計は４５秒か４７秒です。
下線を引いた３つの時間が４１秒・４３秒・４５秒のときに２秒ずつのちがいになりますが、そのときＣさん以外の２人の２周目の時間が同じ（２５秒）になってしまうため、Ｃさんの１周目が２０秒でないことがわかります。

よって、Ｃさんの１周目は２２秒、２周目は２３秒、３周目は２４秒と決まり、２周の合計は４５秒になります。
このとき、１周目が１８秒だった人は２周目を１９秒か２１秒か２５秒か２７秒で走ることになるので、２周の合計は３７秒か３９秒か４３秒か４５秒のどれかですが、Ｃさんの「４５秒」と２秒差あるいは４秒差でなくてはいけないので、４３秒と決まります（２周目は２５秒）。
また、１周目が２０秒だった人は２周目を２１秒か２７秒で走ることになるので、２周の合計は４１秒か４７秒です。

Ｃさんの３周にかかった時間の合計は　２２＋２３＋２４＝６９(秒)　なので、２位のＢさんは７０秒、３位のＡさんは７１秒かかっています。
もし、１周目が２０秒だった人が２周目を２７秒で走ると、２周の合計が４７秒となり、７０−４７＝２３(秒)、７１−４７＝２４(秒)　となって３周目の時間が２周目よりもみじかいので、じょうけんに合いません。
１周目に２０秒だった人が２周目を２１秒で走ると、２周の合計が４１秒となり、７０−４１＝２９(秒)、７１−４１＝３０(秒)　となって、３周目が２９秒のときだけじょうけんに合います。
これで、Ｂさんの１周目が２０秒、２周目が２１秒、３周目が２９秒であることが決まりました。

のこりのＡさんは、１周目が１８秒、２周目が２５秒で、３周全体で７１秒かかっているので、３周目にかかった時間は　７１−１８−２５＝２８(秒)　です。

もんだい９
まず、向かい合った面の数の和が７になるということから、下の図の水色の面の目がわかります。

みどりの面の目は、図１の目のつきかたから６と決まります。
ピンクの面の目は、６のすぐ横（目のつき方にも注意）なので２か５とわかりますが、決まりません。
よって、(イ)から見ると下の図のようになります。

このときの目の数字の合計は４２か４５になります。

もんだい10
　　
（ここでは、カードの数字はカギカッコ「　」であらわすことにします）
アの天びんを見ると、「２」と「３」の重さの合計が「５」の重さになっています。
そこで、イの天びんの「５」を「２」＋「３」にかえてみます。

両方の皿から「２」を取ると、「１」と「３」の重さの合計が「４」になっていることがわかります。
つぎに、同じように、ウの天びんの「４」を「１」＋「３」にかえてみます。

両方の皿から「１」を取ると、「３」と「３」の重さの合計が「２」になっていることがわかります。
アの天びんを見ると、「２」と「３」の重さの合計が「５」の重さになっているので、「３」を３つ合わせた重さが「５」の重さになることがわかります。

これらのことから、「３」が１ｇ、「２」が２ｇ、「５」が３ｇとわかり、さらにイやウの天びんを見ることで「１」が４ｇ、「４」が５ｇであることがわかります。

もんだい11
「０から９」には１０この数字があります。
６まいで１０この数字があるようにするには、１けたのカードを２まい、２けたのカードを４まいとりだすひつようがあります。
また、十の位につかわれている数字は１，２，３，４，５のいずれかです。

【とい１】
十の位に大きい数をつかえば、たし算した答えが大きくなります。
よって、十の位に５，４，３，２をつかい、一の位にのこりの０，１，６，７，８，９をつかえばよいことになります。
たとえば、５０，４９，３８，２７，６，１をえらぶということです。
このときの合計は、５０＋４９＋３８＋２７＋６＋１＝１７１　です。

【とい２】
十の位に小さい数をつかえば、たし算した答えが小さくなります。
よって、十の位に１，２，３，４をつかい、一の位にのこりの０，５，６，７，８，９をつかえばよいことになります。
たとえば、１０，２５，３６，４７，８，９をえらぶということです。
このときの合計は、１０＋２５＋３６＋４７＋８＋９＝１３５　です。

【とい３】
十の位となる４つの数字を何にするのかが決まれば、たし算の答えは自動的に決まります。
十の位につかわれている数字１，２，３，４，５の中から４つえらぶので、えらばない１つの数字に注目すると、えらびかたが５しゅるいあることがわかります。
よって、たし算の答えも５しゅるいです。

いたもと算数教室

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