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2020年 算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズBEE(在宅受験) 解答・解説


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算数オリンピック
<解答>
問題1 
問題2 728163549
問題3 
問題4 15cm
問題5 ア 1001101  イ 111001
問題6 (3,5,6,7),(3,5,6,8)
問題7 十の位 6  一の位 5
問題8 70cm2
問題9 1の裏 4  2の裏 5  3の裏 1  4の裏 3  5の裏 2
問題10 18160
問題11 72通り
問題12 576cm2

<解説>
問題1
下のようにア〜カの記号をつけて説明します。

<条件>より、「6+1+ア+イ」と「ア+イ+エ+オ」が等しいので、エ+オ=7 とわかります。
同様に、1+4=オ+カ となるので、オとカには2と3のどちらかが入ります。
もし、オ=3 だとすると、エ=7−3=4 となって4が2つになってしまうので、オ=2、カ=3 がわかり、エ=7−2=5 もわかります。

次に、「6+1+ア+イ」と「1+4+イ+ウ」が等しいので、6+ア=4+ウ となって、アにはウより2小さい数が入ることがわかります。
まだ入れていない数字は7、8、9なので、ア=7、ウ=9 とわかり、残りの8がイに入ります。

問題2
かけ算九九の答えに、十の位が9になるものはありません。
また、一の位が9になる2けたの数は49しかありません。
よって、答えの9けたの数の下2けたは49と決まります。
さらに、一の位が7になる2けたの数は27しかなく、十の位が7になる2けたの数は72しかないため、9けたの数の途中の位に7がくることはありえません。
したがって、答えの9けたの数の上2けたは72と決まります。
ここまでで、9けたの数が「72●●●●●49」となることがわかります。

かけ算九九の答えで十の位が8になるものは81のみです。
一の位が8になるものは18、28、48がありますが、18は1を使っているので使えず、「72●●●●●49」が決まっているので48を作ることもできません。
よって、9けたの数の上から3けた目が8、上から4けた目が1になることが決まります。
ここまでで、9けたの数が「7281●●●49」となることがわかります。

あとは、残りの3つの●に3、5、6を当てはめてルール通りになるような数を考えると、728163549しかないことがわかります。

問題3
下のようにア〜キの記号をつけてせつめいします。

まず、ウ・3・8の関係を見るとウに3より小さい数が入ることがわかりますが、0を入れてしまうとオに入る数が無くなるので、ウに1、オに0が入ることがわかります。
また、0・8・カの関係を見ることで、カに9しか入らないことも決まります。

次に、ア、イ、エ、キの大小関係について考えます。
0、1、2がすでに使われているので、アには3よりも大きい数が入り、イにはアよりも大きい数が入ります。
また、イには8よりも小さい数が入るので、エにはイよりも小さい数が入ります。
さらに、キにはエよりも小さい数が入ることもわかります。
よって、ア<イ、イ>エ>キ という関係があることがわかるので、イには7が当てはまることが決まります。
アに当てはまる数は4、5、6のいずれかで、どれを当てはめるかによってエとキに当てはまる数も自動的に決まります。
以上より、答えは次の3通りとわかります。
    

問題4

図のようにA、Hから正五角形の下の辺に垂直に線を引いてみます。
すると、赤線の長さはどちらも等しいので、ADとIJの長さが等しいことがわかります。
EFの長さ(正五角形の一辺の長さ)を「ア」、FGの長さを「イ」とすると、AD(=IJ)の長さはア2つ分とイ1つ分であることがわかります。
よって、四角形ABCDの周りの長さはア5つ分とイ1つ分を合わせたものとわかります。
三角形EFGの周りの長さはア2つ分とイ1つ分を合わせたものなので、それらの差はア3つ分、つまり、5×3=15(cm) です。

問題5
下のように、7けたのゼロイチ数「ア」と6けたのゼロイチ数「イ」のかけ算の筆算を考えてみます。


筆算の白い□にはすべて0か1しか入らないので、まずは次のように0と1が決まります。


このとき、Aの一の位が1なのに対し、Bの一の位は0になっています。
よって、イの一の位が1、十の位が0であることがわかります。
また、筆算より、アの一の位が1、十の位が0であることがわかり、さらに、AとFには同じ数が当てはまることもわかるので次のように決まります。


次に、Aの千の位とDの一の位の和が2にならなければいけないことからその2マスには1が入ることとなり、イの千の位が1、アの千の位が1であることも決まります。


答えの十億の位と一億の位に注目すると、そのたてにならぶ残りの□に0が入ることが決まります。
それがわかることによって、答えの百万の位を3にするためにEの百の位を1にしなければいけないこともわかり、筆算が次のように決まります。


よって、アは1001101、イは111001です。


問題6
もし、Aさんが1や2を持っていると、それらを1枚だけ選んだときにBさんは作ることができません。
よって、1と2はBさんが持っていることがわかります。
また、1+2+3+……+9=45、45÷2=22余り1 より、Aさんの持っている4枚のカードすべての合計が22以下、Bさんの持っている5枚のカードすべての合計が23以上であることもわかります。

Bさんが1、2の他に3も持っているとすると、23−(1+2+3)=17 より、Bさんの残りの2枚は8と9になりますが、1、2、3、8、9の5枚では7などを作ることができません。
よって、3はAさんが持っています。

次に、Aさんが4を持っているとすると、Bさんは4以下のカードを1と2しか持っていないので、4を作ることができません。
よって、4はBさんが持っています。

Bさんは1、2、4を持っているので、23−(1+2+4)=16 より、Bさんの残りの2枚は「8と9」「7と9」しかありえません。
Bさんが1、2、4、8、9を持っているとき、Aさんは3、5、6、7を持っていて、Aさんが作ることができる数をBさんは全部作ることができます。
Bさんが1、2、4、7、9を持っているとき、Aさんは3、5、6、8を持っていて、Aさんが作ることができる数をBさんは全部作ることができます。
よって、この2通りが答えになります。

【参考】
2進法の考え方を使うと、1、2、4、8、16、……、という数を組み合わせれば1以上のすべての整数を作ることができるので、1、2、4、8の4枚をBさんが持っていれば1〜15の整数をすべて作れることができるとわかり、答えの見当がつきやすくなります。



問題7
A=(1+10)×10÷2=55 です。
Bに使われる数を素因数分解すると、5が2つ、2が2つ以上あるので、この積の十の位と一の位は「00」となります。
C=(21+30)×10÷2=255 です。
Dに使われる数を素因数分解すると、5が2つ、2が2つ以上あるので、この積の十の位と一の位は「00」となります。
E=(41+50)×10÷2=455 です。
Fに使われる数を素因数分解すると、5が2つ、2が2つ以上あるので、この積の十の位と一の位は「00」となります。

以上より、55×3=165 となって、A〜Fの和の十の位は6、一の位は5とわかります。


問題8

図のようにア〜サとすると、問題文より、イ=61cm2、エ=10cm2、オ=7cm2、コ=6cm2 です。
「オ+カ+キ+ク」の三角形は平行四辺形ABCDの半分の面積です。
また、「イ+カ+コ」の三角形と「エ+ク」の三角形を合わせた面積も、平行四辺形ABCDの半分の面積です。
よって、オ+カ+キ+ク=イ+カ+コ+エ+ク とわかります。
この式の両辺からカとクを取ると、オ+キ=イ+コ+エ となります。
よって、キの面積は、キ=イ+コ+エ−オ=61+6+10−7=70(cm2) です。

問題9
1+2+3+4+5=15 で15は3の倍数です。
1+5=6、6は3の倍数なので、「1」と「5」を裏返して5枚の合計を3の倍数のままにするには、「1」の裏と「5」の裏の和も3の倍数でなくてはいけません。
同様に、「1」の裏と「2」の裏の和も3の倍数、「3」の裏と「4」の裏の和は3でわって1余る数になることがわかります。
もし、「1」の裏が3だと、「5」の裏や「2」の裏も3の倍数でなくてはいけませんが、1〜5の中の3の倍数は3しかないので、「1」の裏は3ではありません。
また、同じ理由で「5」の裏や「2」の裏も3ではなく、「表と裏の数字は異なる」という条件から「3」の裏も3にはならないので、「4」の裏が3であることがわかります。

「3」の裏と「4」の裏(3)の和は3でわって1余る数になるので、「3」の裏は1か4です。
●「3」の裏が4のとき
「1」の裏を1にしないと、「1」の裏と「5」の裏の和が3の倍数、「1」の裏と「2」の裏の和が3の倍数になるという条件を守れません。
しかし、それでは「表と裏の数字は異なる」という条件に反します。

●「3」の裏が1のとき
「1」の裏を4、「5」の裏を2、「2」の裏を5とすると、すべての条件を守ることができます。

よって、「1」の裏は4、「2」の裏は5、「3」の裏は1、「4」の裏は3、「5」の裏は2 となります。

問題10
Aに2020をたすと、2021けたの2020の倍数の中で最も小さい数となります。
そこで、まずはその数を求めることを考えます。
2020=101×20 で、101の倍数であり20の倍数でもある数は2020の倍数と言えるので、10100、101000、1010000、……といった数は2020の倍数です。
この考え方を利用すると、例えば、
10100+101000000−1010000=100000100
10100+101000000+1010000000000−(1010000+10100000000)=1000000000100
というように、(4の倍数+1)けたの数であれば、「10000…(間はずっと0)…00100」という数が必ず2020の倍数になることがわかります。
よって、2021けたの2020の倍数の中で最も小さい数は「10000…(間はずっと0)…00100」という数で、そこから2020を引いたAは、
「99999…(間はずっと9)…9998080」という数であることがわかります。
この数の各けたの数字の和は、9×(2020−4)+8+0+8+0=18160 です。

問題11
「お」に入れる数と同じ数が他の8マスに入らないことは明らかです。

「い」に入れる数と等しい数をどこに入れるかで場合分けします。
●「い」と「く」を等しくするとき
「あ」と「き」は必ず等しくなり、「う」と「け」も必ず等しくなります。
また、「あ」「き」「う」「け」を等しくする場合は「え」と「か」が等しくなり、「あ」「き」「か」を等しくする場合は「う」「け」「え」が等しくなります。
よって、この場合の数の入れ方は、4×3×2×1×2=48(通り) です。

●「い」と「き」を等しくするとき
「け」も、「い」や「き」と等しくしなくてはならず、「え」と「か」が等しくなること、「あ」「く」「う」が等しくなることも決まります。
よって、この場合の数の入れ方は、4×3×2×1=24(通り) です。

以上より、48+24=72(通り) です。


問題12

上図のように1枚の正方形と4枚の二等辺三角形をならべ、この面積を考えます。
2本の赤線は垂直なので、下図のように線を引くと、水色の直角二等辺三角形4つと緑色の正方形1つができます。

水色の直角二等辺三角形の一番長い辺は12cm、緑色の正方形の一辺は12cmなので、全体の面積は、12×6÷2×4+12×12=288(cm2) です。
問題の立体の表面積はその2倍になるので、288×2=576(cm2) です。

ジュニア算数オリンピック
<解答>
問題1 (1) 4と6(逆も可)  (2) 4と7(逆も可)
問題2 
問題3 3円玉 0まい,5円玉 4まい,7円玉 1まい
問題4 1,2,4,6,7,8,9
問題5 ア 11001  イ 1101 
問題6 18,21,24,27,30
問題7 ロボットA パー  ロボットB グー  ロボットC グー
問題8 16cm2
問題9 
問題10 
問題11 (1) 45個  (2) 160通り
問題12 77cm2

<解説>
問題1
(1) 4と6を入れかえると「6×7=42」という正しい式ができます。

(2) 数の大きさを手がかりとして考えると、「5×4」の5か4と「71」の7を入れかえると予想できます。
  4と7を入れかえると「5×7+6=41」という正しい式ができます。

問題2
「4つのグループの数の和はそれぞれ等しい」ので、7つの数の和は4の倍数です。
また、「3つのグループの数の和もそれぞれ等しい」ので、7つの数の和は3の倍数でもあります。
よって、7つの数の和は4と3の公倍数、つまり12の倍数であることがわかります。
また、
1+2+3+……+7=(1+7)×7÷2=28
3+4+5+……+9=(3+9)×7÷2=42
より、7つの数の和は28以上42以下となり、その中の12の倍数は36のみなので、7つの数の和は36とわかります。
36÷4=9 より、太線で区切られてできるグループそれぞれの和は9です。
また、36÷3=12 より、破線で区切られてできるグループそれぞれの和は12です。 

ここからは、下のようにア〜キの記号をつけて説明します。

まず、アが9であることがわかります。
ア+イ+ウ=12 なので、12−9=3=1+2 より、イとウには1と2が入ることがわかります。
この図は左右対称なので、ここでは イ=1、ウ=2 とします。
イ+エ=9 なので、エ=9−1=8 です。
ウ+オ=9 なので、オ=9−2=7 です。
エ+カ=12 なので、カ=12−8=4 です。
オ+キ=12 なので、キ=12−7=5 です。
よって、数を入れた後の図は下のようになります。


問題3
7円玉を3まい以上持っていたら21円ぴったり払えるので、Aさんが持っている7円玉は2まい以下です。
また、おつりの2まいが3円玉と5円玉1まいずつだとすると、Aさんは3円玉と5円玉を1まいもはらっていないことになります。
よって、おつりは「3円玉2まい」か「5円玉2まい」だったことがわかります。
Aさんがはらったお金は、おつりが「5円玉2まい」だとすると 21+5×2=31(円)、おつりが「3円玉2まい」だとすると 21+3×2=27(円) です。
31円は、3円玉1まいと7円玉4まいで作れますが、7円玉が3まい以上になるので不可です。
27円は、5円玉4まいと7円玉1まい、合計5まいで作れます。
以上より、Aさんが持っていたのは、3円玉0まい、5円玉4まい、7円玉1まいです。

問題4
実際に方眼紙に正方形をかいて考えます。
●一番大きい正方形が1辺11cmのとき

上の図のように残りの部分が細長くなってしまうので、そこから他の大きさの正方形を切り出しても余る部分が大きくなってしまいます。
また、1辺12cm以上の正方形を切り出しても同様の理由でできなくなることは明らかです。

●一番大きい正方形が1辺10cmのとき

上の図のように残りの部分で1辺が7cm、6cm、5cm、4cm、2cm、1cmの正方形が切り出せますが、残りが4cm2の紙片になりません。

●一番大きい正方形が1辺9cmのとき

上の図のように、1辺9cmの正方形のとなりに1辺8cmの正方形と1辺6cmの正方形を作ることとなり、その後も図のように正方形を作っていくと条件に合います。
よって、切り出された7つの正方形の一辺の長さは、小さい順に1cm、2cm、4cm、6cm、7cm、8cm、9cmです。

問題5
下のように、5けたのゼロイチ数「ア」と4けたのゼロイチ数「イ」のかけ算の筆算を考えてみます。


筆算の白い□にはすべて0か1しか入らないので、まずは次のように0と1が決まります。


このとき、Aの一の位が1なのに対し、Bの一の位は0になっています。
よって、ゼロイチ数「イ」の一の位が1、十の位が0であることがわかり、さらに、A、C、Dには同じ数が当てはまることもわかるので次のように決まります。


あとは、答えの十万の位を見ると、そのすぐ上のマスに0が当てはまることがわかるので、ゼロイチ数「ア」が11001、ゼロイチ数「イ」が1101であることがわかります。

問題6
黒のカードには3の倍数が書かれているので、Cがとった黒のカードに書かれた数の合計は必ず3の倍数になります。
赤のカードには3でわると1余る数、青のカードには3でわると2余る数が書かれており、どちらも、合計を3の倍数にするためには3まいとらなくてはいけません。
よって、3人がとったカードのまい数は3まいずつです。

黒のカード3まいで作れる最も小さな数は、3+6+9=18 で、これは赤のカードで 1+7+10 など、青のカードで 2+5+11 などと作ることができます。
赤のカード3まいで作れる最も大きな数は、7+10+13=30 で、これは青のカードで 5+11+14 など、黒のカードで 6+9+15 などと作ることができます。
そして、18以上30以下のすべての3の倍数は赤、青、黒のどのカードでも作ることができるので、○として考えられる数は18、21、24、27、30となります。

問題7
Aはチョキとパー、Bはグーとチョキ、Cはグーとパーしか出せないので、3台の最初の手の出し方は次の8通りです。


上の表のア〜クそれぞれについて、2回目以降の手の出し方を考えます。
ただし、ロボットBは1回も勝てなかったと言っているので、ア、エ、クの場合は最初からのぞきます。

●1回目がイのとき
作戦にしたがうと、(A,B,C)の手が、
(チョキ,グー,パー)→(パー,チョキ,グー)→(チョキ,チョキ,グー)→(パー,グー,パー)→(パー,チョキ,グー)→ ……
となり、赤字の部分がくり返されていくことがわかります。
これでは、Cが負けるときがありません。

●1回目がウのとき
作戦にしたがうと、(A,B,C)の手が、
(チョキ,チョキ,グー)→(パー,グー,パー)→(パー,チョキ,グー)→(チョキ,チョキ,グー)→ ……
となり、赤字の部分がくり返されていくことがわかります。
これでは、Cが負けるときがありません。

●1回目がオのとき
作戦にしたがうと、(A,B,C)の手が、
(パー,グー,グー)(パー,チョキ,グー)→(チョキ,チョキ,グー)→(パー,グー,パー)→(パー,チョキ,グー)→ ……
となり、赤字の部分がくり返されていくことがわかります。
このときは青字の部分でCが負けており、3台のロボットのコメントと合っています。

●1回目がカのとき
作戦にしたがうと、(A,B,C)の手が、
(パー,グー,パー)→(パー,チョキ,グー)→(チョキ,チョキ,グー)→(パー,グー,パー)→ ……
となり、赤字の部分がくり返されていくことがわかります。
これでは、Cが負けるときがありません。

●1回目がキのとき
作戦にしたがうと、(A,B,C)の手が、
(パー,チョキ,グー)→(チョキ,チョキ,グー)→(パー,グー,パー)→(パー,チョキ,グー)→ ……
となり、赤字の部分がくり返されていくことがわかります。
これでは、Cが負けるときがありません。

以上より、3台のロボットが最初に出した手は、Aがパー、Bがグー、Cがグーです。

問題8
等しい長さの辺に注目して3つの三角形を組み合わせると、下のように大きな直角二等辺三角形ができることがわかります。

よって、面積は 8×(8÷2)÷2=16(cm2) です。

問題9
まず、右上の「3」の3本の道の引き方が決まります。
その左どなりの「4」は、4から右下に道が引けなくなったので、のこりの4か所に道を引くことが決まります。


次に、左上の「2」は、2から右下に道が引けなくなったので、下に引くことが決まります。
左列真ん中の「2」からはすでに2本の道が引かれているので、その下の「2」は右と右上に道を引くこととなります。


真ん中列下の「1」からはすでに1本の道が引かれているので、その右の「2」は上と左上に道を引くこととなります。
最後に、まだ道の数が足りていない「5」と「3」を結べば、条件通りの道が完成します。


問題10
下のようにア〜シの記号をつけて説明します。



まず、「キ+4=12」「1+カ+1=10」となることから、キ=8、カ=8 が決まります。
次に、「アイウ×エ=ケ614」に注目します。
「ケ614」の下2けたの14が4の倍数ではないので、「ケ614」は2の倍数ですが4の倍数ではありません。
よって、「アイウ」も「エ」も4の倍数でなく、「アイウ」と「エ」が両方偶数であることもありえません。
このことと、エ×ウの一の位が4となることに注目して、(エ,ウ)の組み合わせとしてありえるものを書き出すと、
(1,4)(2,7)(3,8)(6,9)(7,2)(9,6)
となります。

●(エ,ウ)が(1,4)のとき
「アイ4×1」が4けたになることはないので不可です。

●(エ,ウ)が(2,7)のとき
「アイ7×2=ケ614」を完成させると「807×2=1614」となりますが、807×7=5649 となって「オ88ク」に合わないので不可です。

●(エ,ウ)が(3,8)のとき
「アイ8×3=ケ614」を完成させると「538×3=1614」となりますが、538×7=3766 となって「オ88ク」に合わないので不可です。

●(エ,ウ)が(6,9)のとき
「アイ9×6=ケ614」を完成させると「269×6=1614」となる上に、269×7=1883 となって「オ88ク」にも合います。

●(エ,ウ)が(7,2)のとき
「アイ2×7=ケ614」を完成させると「802×7=5614」となりますが、802×7=5614 となって「オ88ク」に合わないので不可です。

●(エ,ウ)が(9,6)のとき
「アイ6×9=ケ614」を完成させると「846×9=7614」となりますが、846×7=5922 となって「オ88ク」に合わないので不可です。

以上より、この筆算として当てはまるものは「269×67」の筆算だとわかります。
実際に筆算をすると以下のようになります。



問題11
(1) 十の位が9のときの一の位は8〜0の9通り、十の位が8のときの一の位は7〜0の8通り、十の位が7のときの一の位は6〜0の7通り、……となり、1通りずつへっていきます。
よって、9+8+7+……+1=(9+1)×9÷2=45(通り)

(2) もし、2つの数の和が3けたになるとすると、その百の位は必ず1になるので「良い数」にできません。
よって、2つの数の十の位の和が9以下になるように選びます。
そのとき、一の位の和は必ず十の位の和よりも小さくなるので、必ず「良い数」ができます。
選ぶ2つの数の十の位の組み合わせとして考えられるのは、
(8と1)(7と2)(7と1)(6と3)(6と2)(6と1)(5と4)(5と3)(5と2)(5と1)(4と4)(4と3)(4と2)(4と1)(3と3)(3と2)(3と1)(2と2)(2と1)
です。それぞれの場合の選び方が何通りあるかを調べると、
(8と1)→8×1=8(通り)    (7と2)→7×2=14(通り)
(7と1)→7×1=7(通り)    (6と3)→6×3=18(通り)
(6と2)→6×2=12(通り)   (6と1)→6×1=6(通り)
(5と4)→5×4=20(通り)   (5と3)→5×3=15(通り)
(5と2)→5×2=10(通り)   (5と1)→5×1=5(通り)
(4と4)→4×3÷2=6(通り) (4と3)→4×3=12(通り) 
(4と2)→4×2=8(通り)    (4と1)→4×1=4(通り)
(3と3)→3×2÷2=3(通り) (3と2)→3×2=6(通り)
(3と1)→3×1=3(通り)    (2と2)→2×1÷2=1(通り)
(2と1)→2×1=2(通り)
 例えば「42と43」「43と42」は同じ選び方なので、十の位が同じものどうしの組み合わせは「÷2」をしなければいけないことに注意が必要です。)

以上のものをすべてたすと、160通りあることがわかります。

問題12
どこか1つの正方形を中心として見ると、その周りについている正方形はすべて点対称もようになっています。
よって、正方形の中心どうしを直線で結ぶと、下図のように合同な正方形があらわれます。

あらわれた正方形1つ分の面積は、赤の部分1つが17cm2の正方形の1/4、青の部分1つが5cm2の正方形の1/4なので、
17÷4×2+5÷4×2=11(cm2) です。

問題の八角形は、この正方形5つと正方形を半分にした三角形4つを組み合わせた形なので、正方形7つ分の面積になります。
11×7=77(cm2)

キッズBEE
<解答>
もんだい1 8
もんだい2 (とい1)13人 (とい2)7人
もんだい3 
もんだい4 30cm
もんだい5 @
もんだい6 42こ
もんだい7 26こ
もんだい8 28秒
もんだい9 大きい数…45 小さい数…42
もんだい10 1…4g 2…2g 3…1g 4…5g 5…3g
もんだい11 (とい1)171 (とい2)135 (とい3)5しゅるい

<解説>
もんだい1
下のようにイ〜カの記号をつけてせつめいします。



イ+オ は、十の位のくり上がりがなければ6ですが、のこっている数(2,3,5,7,8,9)を当てはめても6を作ることはできません。
よって、十の位でくり上がりがおこっていて、イ+オ=5 となることがわかります。
のこっている数で5が作れるのは 2+3 だけなので、イとオには2と3が当てはまります。
一の位の エ+1 でくり上がりがおこるとすると、9+1=10 で、アが0となってしまうので、一の位でくり上がりはおこりません。
よって、ウ+カ=14 となることがわかり、ウとカには5と9が当てはまります。
のこっているのは7と8なので、エに7、アに8が入ることが決まります。

もんだい2
もんだい文を図にまとめると、下のようになります。

【とい1】
はじめにどちらの手もあげていなかった人は、32−19=13(人) です。

【とい2】
はじめに右手をあげていなかった人は、39−19=20(人) です。
よって、はじめに左手をあげていた人は、20−13=7(人) です。

もんだい3
下のようにア〜カの記号をつけてせつめいします。

一番小さい「0」と一番大きい「9」は「2つの数字の間」に入らないので、オとカに入ることがわかります。
もし、カに9を入れると、ウに入る数字がなくなってしまうので、オに9、カに0が入ることが決まります。

6と3とウを見ると、ウには3より小さい数字が入るので、2と決まります。
7をアに入れるとイに入る数字がなく、7をイに入れるとエに入る数字がないので、7はエに入ります。

あとは、アに4、イに5を入れれば、すべての数字がルール通りに当てはまることがわかります。

もんだい4

上の図の同じ色どうしの線の長さをくらべてみます。
すると、長い方の線の長さはどれも、みじかい方の線の長さの2倍になっていることがわかります。
AからBまで時計まわりに進んだときの長さの20cmは、それぞれの色の長い方の合計になっています。
ですから、のこりの線の長さの合計(それぞれの色のみじかい方の長さの合計)は、20÷2=10(cm) です。
よって、まわりの長さは 20+10=30(cm) です。

もんだい5

上の図の色をつけたつみ木を見ると、答えが@かCのどちらかであることがわかります。
をつけた部分を見ると、もし上から見てCのように見えたとすると、中央の下の部分でをつけた2つのつみ木がかさなってしまいます。
よって、答えは@です。

もんだい6
「どの3つのふくろの中の玉を合計しても」と書いてあるので、玉の数がきょくたんに少ないふくろがあると、のこりのふくろの玉の数を多くしなければならず、4つのふくろの中に入っている玉の合計がふえてしまいます。
(たとえば、玉が0このふくろがあると、のこりの3つが「15こ・16こ・16こ」となり、合計が47こになります。)
そこで、4つのふくろすべてに同じくらいの玉が入るようにします。
31÷3=10あまり1 なので、どのふくろにも10こくらいの玉を入れればよいとわかりますが、たとえば「10こ・10こ・10こ・11こ」だと、10このふくろ3つをえらんだときに合計が30ことなってしまいます。
「10こ・10こ・11こ・11こ」であれば、どの3つのふくろをえらんでも合計が31こ以上になりますので、これがもっとも少ない場合になります。
10+10+11+11=42(こ)

もんだい7
十の位と一の位がどちらも2以上の数だと、たとえば、
「22」→ 2+2=4  2×2=4
「35」→ 3+5=8  3×5=15
「29」→ 2+9=11 2×9=18
のように、かけ算した答えの方がたし算した答えより大きくなるか、同じになります。
はんたいに、もし十の位か一の位のどちらかに0か1があれば、
「30」→ 3+0=3  3×0=0
「17」→ 1+7=8  1×7=7
「91」→ 9+1=10 9×1=9
「11」→ 1+1=2  1×1=1
のように、かけ算した答えの方がたし算した答えより小さくなります
ですから、十の位か一の位に0や1がある数が何こあるかをかぞえれば、それがこのもんだいの答えになります。
十の位か一の位に0や1がある数は、
10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,
20,21,30,31,40,41,50,51,60,61,70,71,80,81,90,91

の26こあります。

もんだい8
もし、Cさんの1周目が18秒だったとすると、Cさんの2周目は19秒で、2周の合計は37秒になります。
そのとき、1周目が20秒だった人は2周目を21秒か23秒で走ることになるので、2周の合計は41秒か43秒です。
また、1周目が22秒だった人は2周目を23秒で走ることになるので、2周の合計は45秒です。
下線を引いた3つの時間が2秒ずつのちがいにならないので、Cさんの1周目が18秒でないことがわかります。

もし、Cさんの1周目が20秒だったとすると、Cさんの2周目は21秒で、2周の合計は41秒になります。
そのとき、1周目が18秒だった人は2周目を19秒か23秒か25秒で走ることになるので、2周の合計は37秒か41秒か43秒です。
また、1周目が22秒だった人は2周目を23秒か25秒で走ることになるので、2周の合計は45秒か47秒です。
下線を引いた3つの時間が41秒・43秒・45秒のときに2秒ずつのちがいになりますが、そのときCさん以外の2人の2周目の時間が同じ(25秒)になってしまうため、Cさんの1周目が20秒でないことがわかります。

よって、Cさんの1周目は22秒、2周目は23秒、3周目は24秒と決まり、2周の合計は45秒になります。
このとき、1周目が18秒だった人は2周目を19秒か21秒か25秒か27秒で走ることになるので、2周の合計は37秒か39秒か43秒か45秒のどれかですが、Cさんの「45秒」と2秒差あるいは4秒差でなくてはいけないので、43秒と決まります(2周目は25秒)。
また、1周目が20秒だった人は2周目を21秒か27秒で走ることになるので、2周の合計は41秒か47秒です。

Cさんの3周にかかった時間の合計は 22+23+24=69(秒) なので、2位のBさんは70秒、3位のAさんは71秒かかっています。
もし、1周目が20秒だった人が2周目を27秒で走ると、2周の合計が47秒となり、70−47=23(秒)、71−47=24(秒) となって3周目の時間が2周目よりもみじかいので、じょうけんに合いません。
1周目に20秒だった人が2周目を21秒で走ると、2周の合計が41秒となり、70−41=29(秒)、71−41=30(秒) となって、3周目が29秒のときだけじょうけんに合います。
これで、Bさんの1周目が20秒、2周目が21秒、3周目が29秒であることが決まりました。

のこりのAさんは、1周目が18秒、2周目が25秒で、3周全体で71秒かかっているので、3周目にかかった時間は 71−18−25=28(秒) です。

もんだい9
まず、向かい合った面の数の和が7になるということから、下の図の水色の面の目がわかります。

みどりの面の目は、図1の目のつきかたから6と決まります。
ピンクの面の目は、6のすぐ横(目のつき方にも注意)なので2か5とわかりますが、決まりません。
よって、(イ)から見ると下の図のようになります。

このときの目の数字の合計は42か45になります。

もんだい10
  
(ここでは、カードの数字はカギカッコ「 」であらわすことにします)
アの天びんを見ると、「2」と「3」の重さの合計が「5」の重さになっています。
そこで、イの天びんの「5」を「2」+「3」にかえてみます。

両方の皿から「2」を取ると、「1」と「3」の重さの合計が「4」になっていることがわかります。
つぎに、同じように、ウの天びんの「4」を「1」+「3」にかえてみます。

両方の皿から「1」を取ると、「3」と「3」の重さの合計が「2」になっていることがわかります。
アの天びんを見ると、「2」と「3」の重さの合計が「5」の重さになっているので、「3」を3つ合わせた重さが「5」の重さになることがわかります。

これらのことから、「3」が1g、「2」が2g、「5」が3gとわかり、さらにイやウの天びんを見ることで「1」が4g、「4」が5gであることがわかります。

もんだい11
「0から9」には10この数字があります。
6まいで10この数字があるようにするには、1けたのカードを2まい、2けたのカードを4まいとりだすひつようがあります。
また、十の位につかわれている数字は1,2,3,4,5のいずれかです。

【とい1】
十の位に大きい数をつかえば、たし算した答えが大きくなります。
よって、十の位に5,4,3,2をつかい、一の位にのこりの0,1,6,7,8,9をつかえばよいことになります。
たとえば、50,49,38,27,6,1をえらぶということです。
このときの合計は、50+49+38+27+6+1=171 です。

【とい2】
十の位に小さい数をつかえば、たし算した答えが小さくなります。
よって、十の位に1,2,3,4をつかい、一の位にのこりの0,5,6,7,8,9をつかえばよいことになります。
たとえば、10,25,36,47,8,9をえらぶということです。
このときの合計は、10+25+36+47+8+9=135 です。

【とい3】
十の位となる4つの数字を何にするのかが決まれば、たし算の答えは自動的に決まります。
十の位につかわれている数字1,2,3,4,5の中から4つえらぶので、えらばない1つの数字に注目すると、えらびかたが5しゅるいあることがわかります。
よって、たし算の答えも5しゅるいです。

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