いたもと算数教室　2021年　算数オリンピック解答・解説

２０２１年　算数オリンピック・ジュニア算数オリンピック・キッズBEE　解答・解説

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算数オリンピック
＜解答＞
問題１　（１２１×２５３の筆算）
問題２　(1)　　(2)
問題３　２０２５cm2
問題４　(1)　２３×４＋５１　　(2)　４８１×２７＋６０３＋５９
問題５　８４　（例）
問題６　Ａ６１３　　Ｂ７１８
問題７　１２９６cm2
問題８　５４００
問題９　１５か所
問題10　５４度

＜解説＞
問題１

上の図のようにア～スとします。
まず、キが３であることが決まり、さらに、「オ＋０＋２」が５か６になるので、オが３か４であることがわかります。
オが４だとすると、エも４になりますが、そのときにカは８か９となるため、「カ＋ケ」でくり上がりが起こらなければならず、オが４であることと矛盾します。
よって、オは３とわかり、エにも３が当てはまることが決まります。

次に、アが１であることが決まるため、かけられる数が１２１であることがわかりました。
これによって、「１２１×３＝３６３」より、カが６、「１２１×ウ＝ク０ケ」より、ウが５、ケが５、クが６、「１２１×イ＝コサ２」より、イが２、サが４、コが２であることが決まり、この筆算が「１２１×２５３」の筆算であることがわかります。

問題２
ルールを守って、しんちょうに決まる場所を探します。
(1)

上図のようになります。

(2)

まず、○の左上、真上、右上、左下、真下、右下が上図のように決まります。

次に、初めから決まっている×や３つ横にならんでいる×に注目すると、上図の○や×が決まります。

さらに、上図の赤の部分が決まり、

一番上や一番下も決まり、

これですべてのマスが決まりました。

問題３
まず、問題文の説明にある「長辺の長さ÷短辺の長さ」の値をＣとし、Ａ５用紙とＡ６用紙（Ａ５用紙の半分）の長さの関係を考えてみます。

Ａ５用紙の長辺の長さは「１５×Ｃ」となります。
また、Ａ６用紙の短辺の長さは、１５×Ｃ÷２＝７.５×Ｃ　となります。
Ａ６用紙の長辺の長さはＡ５用紙の短辺と等しく１５cmですが、短辺のＣ倍なので「７.５×Ｃ×Ｃ」とも言えます。
つまり、７.５×Ｃ×Ｃ＝１５　という式が成り立つので、「Ｃ×Ｃ」の値は２と等しいということがわかります。

ここで問題の図を見ると、この図形は一辺(１５×Ｃ)cmの正方形４つと一辺１５cmの正方形１つでできていることがわかります。
黄色の正方形１つの面積は、１５×Ｃ×１５×Ｃ＝１５×１５×２＝４５０(cm2)　なので、全体の面積は、
４５０×４＋１５×１５＝２０２５(cm2)　です。

問題４
(1)
問題の式の□を左から順にア、イ、ウとし、２ア×４＋イウ＝ウイ＋４×ア２　となるア、イ、ウを探します。
「イウ」と「ウイ」の差は、「２ア×４」と「４×ア２」の差と等しいので必ず４の倍数になるはずです。
しかし、イとウの組み合わせを「１と３」や「３と５」にすると、３１－１３＝１８　　５３－３５＝１８　となって４の倍数になりません。
よって、イとウの組み合わせは「１と５」と決まり、残りの３をアに入れることも決まります。
すると、２３×４＋５１＝１５＋４×３２　という「可逆計算式」が完成します。

(2)
問題の式の□を左から順にア、イ、ウ、エ、オ、カとし、４８１×アイ＋ウ０エ＋オカ＝カオ＋エ０ウ＋イア×１８４　となるア～カを探します。
まず、「ウ０エ＋オカ」と「カオ＋エ０ウ」の差について考えます。
ウ～カには、まだ使っていない２、３、５、６、７、９のいずれかを入れることになりますが、差が最大となる場合でも、(９０２＋７３)－(３７＋２０９)＝７２９　なので、「４８１×アイ」と「イア×１４８」の差もそれ以下にしなければなりません。

次に、「４８１×アイ」と「イア×１４８」の差について考えます。
アとイに色々な数をあてはめて計算してみると、
ア＝２　イ＝９　→　９２×１８４－４８１×２９＝２９７９
ア＝２　イ＝７　→　７２×１８４－４８１×２７＝２６１
ア＝２　イ＝６　→　４８１×２６－６２×１８４＝１０９８
ア＝３　イ＝９　→　４８１×３９－９３×１８４＝１６４７
となります。
これ以上調べても、アとイの値が近づいていくために「４８１×アイ」と「イア×１４８」の差が１０００を超えることは明らかなので、ア＝２、イ＝７　が決まります。

最後に、(ウ０エ＋オカ)－(カオ＋エ０ウ)＝２６１　となるウ、エ、オ、カをさがします。
「ウ０エ」と「エ０ウ」の差は、(ウ×１００＋エ)－(エ×１００＋ウ)＝(ウ－エ)×９９、「オカ」と「カオ」の差は、仮にオの方が大きいとすると、(オ×１０＋カ)－(カ×１０＋オ)＝(オ－カ)×９　となります。
２６１＝９９×３－９×４　なので、ウ＝６、エ＝３、オ＝５、カ＝９　とすれば条件に合うことがわかります。

以上より、４８１×２７＋６０３＋５９＝９５＋３０６＋７２×１８４　という「可逆計算式」が完成します。

問題５
問題文の条件を整理すると、
条件ア：まっすぐな直線でつながった４つの円に入る数が等差数列になるようにする
条件イ：すべて異なる整数を入れ、１２個の和が最小になるようにする
ということになります。
角の○から角の○までは公差３つ分はなれているので、それらの差は３の倍数になります。
よって、条件アを満たすためには、４つの角に入る数を３で割ったときの余りがすべて等しくなるようにしなくてはいけません。

次に、条件イを満たすために、１～１２の１２個の整数で１２個の円をうめることができるかどうかを考えます。
最小の数である１と最大の数である１２は必ず角に置かなくてはいけませんが、それでは「４つの角に入る数を３で割ったときの余りがすべて等しくなる」に反します。
ですから、１～１２の１２個でうめることはできません。

そこで次に、１～１３のうちの１２個でうめることができるかどうかを考えます。
「１÷３」も「１３÷３」も余りは１なので、１と１３を角に入れるときに残りの２つの角に入れる数の候補は４、７、１０になります。
このとき、下図のようにすれば条件アに合います。

これが１３個の円に書かれている数字の和が最小となるものです。

問題６
Ａ＋１０５＝Ｂ　より、(Ａ，Ｂ)一の位の組み合わせとして考えられるものは（０，５）（１，６）（２，７）（３，８）（４，９）（５，０）（６，１）（７，２）（８，３）（９，４）ですが、２つの数の積の一の位が４なので、（２，７）（３，８）（７，２）（８，３）の４通りにしぼられます。
また、ＡとＢがおよそ１００ちがいであると考えると、４４０１３４は　６００×７００＝４２００００　より大きく　７００×８００＝５６００００　より小さいので、ＡとＢの値がこれらの間に入っていると見当がつきます。
以上のことをふまえて、見当をつけて調べてみます。
すると、６１３×７１８を計算したときの値が４４０１３４となるので、Ａ＝６１３、Ｂ＝７１８　とわかります。

問題７

正六角形と正三角形の関係を見ると図１のようになり、正六角形の面積が正三角形の２倍であることがわかります。
大きい正方形と小さい正方形の関係を見ると図２のようになり、大きい正方形の面積が小さい正方形の２倍であることがわかります。
これらより、大きい正方形と正六角形の面積の差は、小さい正方形と正三角形の面積の差の２倍となることがわかります。

次に、小さい正方形と正三角形の面積の差を考えます。図３より、小さい正方形と正三角形と重ねて比べると、底辺３６cm、高さ１８cmの直角二等辺三角形、底辺３６cm、高さ１８cmの二等辺三角形を合わせた分だけちがうことがわかります。
よって、それらの差は、３６×１８÷２×２＝６４８(cm2)　です。

以上より、求める面積は　６４８×２＝１２９６(cm2)　です。

問題８
「逆転の数」とは反対に、２つの数字の組で大きい数字が右側に並んでいるものの数を、その並べ方の「普通の数」とよぶことにします。
すると、「普通の数」と「逆転の数」の和は、その数列から２つの数を選ぶ組み合わせの数と等しくなります。
例えば、１、２、３、４の４つを（２、１、４、３）と並べると、「普通の数」は４、「逆転の数」は２となり、その合計の「６」は４つの数から２つを選ぶ組み合わせの数となります。

このとき、対称性より、並べる方法全部の「普通の数」の合計と「逆転の数」の合計は等しくなることは明らかです。
ですから、求める「逆転の数」の合計は、（１～６から２つを選ぶ組み合わせの数）×（１～６を並べる順列の数）÷２　となります。
１～６から２つを選ぶ組み合わせの数は、６×５÷２＝１５(通り)、１～６を並べる順列の数は、６×５×４×３×２×１＝７２０(通り)　なので、
１５×７２０÷２＝５４００　が求める合計となります。

問題９
２０２１の並びの現れ方として、以下の場合が考えられます。
ア：５けたの数が１２０２１となる場合
イ：５けたの数の下３けたと次の数の一万の位が「１△２０２，１△△△△」となる場合
ウ：４けたの数がそのまま２０２１となる場合
エ：４けたの数の下３けたと次の数の千の位が「△２０２，１△△△」となる場合
オ：４けたの数の下２けたと次の数の上２けたが「△△２０，２１△△」となる場合
カ：３けたの数の下２けたと次の数の上２けたが「△２０，２１△」となる場合

アの場合　→　１通りです。
イの場合　→　「１△２０２」の△に９～０があてはまるので、１０通りです。
ウの場合　→　１通りです。
エの場合　→　「１２０２，１２０１」の部分にあるので、１通りです。
オの場合　→　「２１２０，２１１９」の部分にあるので、１通りです。
カの場合　→　「２２０，２１９」の部分にあるので、１通りです。

以上より、全部で１５か所現れます。

問題10
角ＢＤＦ＝４５＋９＝５４°　です。
この「５４°」が正五角形の内角１０８°のちょうど半分であることをふまえ、Ｄ、Ｆ、Ｍをふくむ正五角形を図のようにかいてみます。

すると、四角形ＤＦＭＨは正五角形を半分にした形なので角ＤＨＭは直角となり、三角形ＢＨＭが直角二等辺三角形であることがわかります。
角ＢＭＦは　１０８－４５＝６３(度)　で、これは角ＣＭＧとも等しいので、角ＦＭＧは　１８０－６３×２＝５４(度)　です。

ジュニア算数オリンピック
＜解答＞
問題１　（３６７×６３の筆算）
問題２　８本
問題３　イが２cm2大きい
問題４　４０　（例）
問題５　〔表３，うら１〕〔表５，うら９〕〔表２，うら４〕〔表７，うら８〕〔表０，うら６〕
問題６　ア８　　イ１　　ウ９
問題７　４８cm
問題８　１０通り
問題９　１８点差
※問題10　(1)　１９cm2　　(2)　２７２cm2
※問題の数値設定に矛盾が生じたため、この問題は不成立で全員加点となりました。

＜解説＞
問題１

上の図のようにア～サとします。
まず、「６×イ」の一の位が２であることに注目すると、イに当てはまる数が２か７であることがわかります。
また、「ウ×イ」の一の位が１であることから、イが７であること、ウが３であることが決まります。
次に、「６×ア」の一の位に４をたした数が１０であることに注目します。
このとき、アに当てはまる数は１か６しかなく、さらに、「３１７×３」は「１□□１」にならないので、アは６と決まり、この筆算が「３６７×６３」の筆算であることがわかります。

問題２
これらの島を、「橋で結ばれている島どうしが同じ色にならないように、白と赤の２色でぬり分ける」と考えます。

すると、点線でかこんだ部分が三角形のため、水色の部分だけどうしてもうまくぬり分けられないことがわかります。
ＡからＢまで行くのに水色の部分を通らない場合、白→赤→白→赤→……→赤　と、白と赤の島を交互に通って赤の島まで行かなければならないため、橋の本数は必ず奇数本になってしまいます。
よって、Ａから水色の部分を通ってＢに行かなければ橋の本数を偶数本にすることはできません。
水色の部分を通って、渡る橋の本数を最小にしてＢに行くためには、例えば下図のように通ればよく、答えは８本になります。
　

問題３
●イの面積

図の黄色の部分は９cm2、こい緑の部分は　６÷２＝３(cm2)、こい青の部分は　２÷２＝１(cm2)、こい赤の部分は１つあたり　４÷２＝２(cm2)　なので、５つで　２×５＝１０(cm2)　です。
よって、イの面積は、９＋３＋１＋１０＝２３(cm2)　です。

●ウの面積

図の黄色の部分は８cm2、こい緑の部分は１つあたり３cm2なので、２つで　３×２＝６(cm2)、こい赤の部分は１つあたり２cm2なので、３つで　２×３＝６(cm2)　です。
また、紫の部分は等積変形することによって１cm2とわかります。
よって、ウの面積は、８＋６＋６＋１＝２１(cm2)　です。

以上より、イの方が　２３－２１＝２(cm2)　大きいことがわかります。

問題４
問題文の条件を整理すると、
条件ア：角の２つの数の平均がその間の数になるようにする
条件イ：すべて異なる整数を入れ、８個の和が最小になるようにする
ということになります。
もし、角の２つの数の片方を偶数、もう片方を奇数にすると、その平均は整数になりません。
よって、条件アを満たすためには、４つの角はすべて偶数か、すべて奇数にする必要があります。

また、３つのうちの真ん中の円の数を２倍するとその両はしの数の和になるのですから、真ん中の４か所の数の和と角の４か所の数の和は等しくなります。

次に、条件イを満たすために、１～８の８個の整数で８個の円をうめることができるかどうかを考えます。
最小の数である１と最大の数である８は平均になりえないので、必ず角に置かなくてはいけませんが、それでは「４つの角はすべて偶数か、すべて奇数」に反します。
ですから、１～８の８個でうめることはできません。

そこで次に、１～９のうちの８個でうめることができるかどうかを考えます。
真ん中の円に入る４つの数は２、４、６、８と決まり、その４つの和は２０なので、角に使う４つの数の和も２０です。
２０＝１＋３＋７＋９　なので、１、３、７、９をうまく角に入れていくと、下図のようにすれば条件アに合います。

これが８個の円に書かれている数字の和が最小となるものです。

問題５

まず、上の式の答えの一の位が０になっていることから、アとイの一方に偶数、もう一方に５が入ることがわかります。
ただ、イ＝５だとすると式の答えが３けたの数になってしまうので、ア＝５だとわかります。
さらに「３５×イ＝ウ０」となるのは「３５×２＝７０」のみなので、イ＝２、ウ＝７も決まります。

ここまででまだ現れていない数字は、４、６、８、９です。
問題文より、エ、オ、カ、キのうちの３つにこれらの数が入り、残る１つは上の式と同じということになります。
もし、上の式の５や０のどちらかが同じになると、もう片方も同じにしなければいけなくなります。
また、上の式の２が同じになると、カに２か３を入れなければならず、これもありえません。
よって、上の式と同じ数は７で、「１エ×オ＝７キ」という式を作ればよいことがわかります。

数の大きさを考えると、オに当てはまるのは４か６しかなく、どちらにしても偶数なので、キにも４か６が当てはまることがわかります。
７４の約数に十の位が１になる数はなく、７６の約数で十の位が１なのは１９のみなので、下の式は「１９×４＝７６」だとわかります。

さらに、どちらの式にも使われていない８が７の裏であることもわかるので、すべてのカードの表と裏の組み合わせが解答のように決まります。

問題６
ここにならんでいる数がすべて３けたの数だと仮定して、３けたずつ区切ってみます。
区切り方は次のＡ、Ｂ、Ｃの３通り考えられます。
Ａ　
Ｂ　
Ｃ　
Ａは、一の位が４となるところが続いているのでありえません。
Ｂは、一の位が９となるところが続いているのでありえません。
Ｃは、一番左の数の一の位が９で、そこから５つ進んだ数の一の位が４になっているので、つじつまが合います。
まずは一の位だけうめると

となり、残りの十の位と百の位も考えると、４８９～４９４が次のように当てはまります。

よって、アには８、イには１、ウには９が当てはまります。

※補足：ならんでいる数がすべて２けたの場合や、２けたと３けたが混ざっている場合も考えられますが、上と同じように区切ってみると、どちらもありえないことがすぐにわかります。

問題７
正六角形は６つの正三角形に分けることができ、できた正三角形の各辺の中点から線を引くことで、さらに小さい正三角形に分けることができます。

問題の図の１２cmは、この小さい正三角形の辺３つ分であることがわかります。
よって、正六角形の１辺は　１２÷３×２＝８(cm)　で、まわりの長さは　８×６＝４８(cm)　です。

問題８
組み合わせをどのようにしてもＡが優勝することは明らかですが、２位と３位は初戦の組み合わせを変えることで色々と考えられます。
そこで、下のトーナメント表のように、初戦として考えられる４試合をそれぞれア、イ、ウ、エとします。

Ａがアの試合であることを固定し、Ｂ、Ｃが初戦にどこに入るかで場合分けして考えます。

●アにＢ、イにＣが入る場合
３位がＣであることが決まります。２位はウかエに入る４チームの中で最も強いチームとなり、Ｄ、Ｅのどちらかが考えられます。

●アにＢ、ウにＣが入る場合
２位がＣであることが決まります。３位はイかエに入る４チームの中で最も強いチームとなり、Ｄ、Ｅのどちらかが考えられます。

●イにＢとＣが入る場合
３位がＢであることが決まります。２位はウかエに入る４チームの中で最も強いチームとなり、Ｄ、Ｅのどちらかが考えられます。

●イにＢ、ウにＣが入る場合
２位がＣ、３位がＢであることが決まります。

●ウにＢとＣが入る場合
２位がＢであることが決まります。３位はイかエに入る４チームの中で最も強いチームとなり、Ｄ、Ｅのどちらかが考えられます。

●ウにＢ、エにＣが入る場合
２位がＢ、３位がＣであることが決まります。

●アにＣ、イにＢが入る場合
３位がＢであることが決まります。２位はウかエに入る４チームの中で最も強いチームとなり、Ｄ、Ｅのどちらかが考えられます。

●アにＣ、ウにＢが入る場合
２位がＢであることが決まります。３位はイかエに入る４チームの中で最も強いチームとなり、Ｄ、Ｅのどちらかが考えられます。

●イにＣ、ウにＢが入る場合
２位がＢ、３位がＣであることが決まります。

以上より、（２位，３位）の組み合わせとして考えられるのは、（Ｄ，Ｃ）（Ｅ，Ｃ）（Ｃ，Ｄ）（Ｃ，Ｅ）（Ｄ，Ｂ）（Ｅ，Ｂ）（Ｃ，Ｂ）（Ｂ，Ｄ）（Ｂ，Ｅ）（Ｂ，Ｃ）の１０通りです。

問題９
かけ算九九の２けたの答えの中で９を使うのは４９しかありません。
よって、１０枚のカードをすべて使うには、５組の中に４９が必ず入ります。
また、かけ算九九の２けたの答えの中で７を使うのは２７、７２しかありません。
ですから、５組の中に７２も必ず入ります。

ここまでで残っている数字は０、１、３、５、６、８です。
この中で８を使う答えを作ろうとすると、１８、８１しかないので、５組の中に８１も必ず入ります。
残りの０、３、５、６の４つで２組の答えを作ると３０と５６に決まります。
これで５組の答えがわかりました。

Ｂさんが勝つには、Ｂさんが８１と７２、Ａさんが３０と４９と５６を取るしかなく、そのときの点差は、(８１＋７２)－（３０＋４９＋５６）＝１８(点)　です。

問題10

(1)
ＢＤとＥＧは、角ＡＤＢ＝角ＤＧＥ　となって同位角が等しいので平行です。
ですから、三角形ＢＥＧと三角形ＤＥＧはＥＧを底辺と見ると高さが等しいので、面積も等しくなります。
同様に、ＧＩとＤＦも平行なので、三角形ＩＤＦと三角形ＧＤＦの面積も等しくなります。
さらに、三角形ＤＥＧと三角形ＧＤＦは合同で面積が等しいので、三角形ＢＥＧと三角形ＩＤＦの面積が等しいことがわかります。
よって、三角形ＧＫＮの面積は、（２５＋３６＋７５）－（３６＋８１）＝１９(cm2)　です。

(2)
(1)より、三角形ＧＤＦの面積は　２５＋３６＋７５＝１３６(cm2)　なので、正方形ＤＥＦＧの面積は　１３６×２＝２７２(cm2)　です。

※(2)より三角形DMGの面積は　２７２÷４＝６８(cm2)　ですが、三角形ＤＬＫ＋四角形ＫＬＭＮ＋三角形ＧＫＮ＝２５＋３６＋１９＝８０(cm2)　となって６８cm2を上回ってしまうため、矛盾が生じます。

キッズＢＥＥ
＜解答＞
もんだい１　１４本
もんだい２　金曜日
もんだい３　ラン：２年Ａ組　リュウ：２年Ｂ組　ルミ：３年Ｂ組　
もんだい４　【とい１】３×４＝１２（４×３＝１２）
　　　　　　【とい２】１３×４＝５２
　　　　　　【とい３】５４×３＝１６２
もんだい５　１１cm
もんだい６　【とい１】８　【とい２】４３、４７
もんだい７　２２２円
もんだい８　４と７
もんだい９　１５日後

＜解説＞
もんだい１
かぞえまちがえないようなくふうをして、しんちょうにかぞえます。
たとえば、下の図のように「しんの上がわだけにしるしをつけて、そのしるしの数をかぞえる」などのくふうがあります。

もんだい２
カレンダーは曜日によって４日間あるところと５日間あるところがあります。（２月はのぞきます）
「火曜日の数が水曜日より多くて」
「日曜日の数が月曜日より少ない」
とあるので、カレンダーは下のようになっていることがわかります。
すると、１日が月曜日になることがわかり、５日は金曜日だとわかります。

もんだい３
リュウくんは「ぼくはルミさんと組の記号が同じです。」と言っているので、リュウくんとルミさんはちがう学年です。
ランさんもルミさんとちがう学年なので、ルミさんと同じ学年なのはレントくんだとわかります。
レントくんは３年Ａ組なので、ルミさんは３年Ｂ組とわかり、リュウくんは同じＢ組なので２年Ｂ組、ランさんはのこりの２年Ａ組と決まります。

もんだい４
【とい１】
答えが２けたになるようにするには、「３×４＝１２」または「４×３＝１２」とするしかありません。

【とい２】

上の式のイ、ウ、オを見てみます。
イとウのかけ算をした一の位がオとなりますが、イ、ウ、オには１～５のちがう数を入れなくてはいけません。
もし、イかウに１を入れると、イ・ウのもうかた方の数とオが同じになってしまいますし、
２×３＝６　２×４＝８　２×５＝１０　３×５＝１５　４×５＝２０
は、どれもじょうけんに合いません。
うまくいくのは　３×４＝１２、または、４×３＝１２　の場合のみなので、イとウに当てはまるのは３と４で、オに当てはまるのは２だとわかります。
あとは、のこりの１をアに、５をエに入れて正しくなる式をさがすと、「１３×４＝５２」という式が見つかります。

【とい３】

まず、上の式のイ、ウ、カを見てみます。
イとウのかけ算をした一の位がカとなりますが、イ、ウ、カには１～６のちがう数を入れなくてはいけません。
【とい２】と同じようにさがしてみると、うまくいくのは　２×３＝６、３×２＝６、３×４＝１２、４×３＝１２　の場合のみなので、イとウに当てはまるのは「２と３」または「３と４」で、カに当てはまるのは６か２です。
つぎに、アに１を入れると３けたの答えにならないので、アに５か６を入れて、考えられる式をすべて計算してみます。
すると、
５２×３＝１５６　　５３×２＝１０６
５３×４＝２１２　　５４×３＝１６２
６３×４＝２５２　　６４×３＝１９２
となるので、じょうけんに合う式は「５４×３＝１６２」だとわかります。

もんだい５

上の図のように、おれまがっている□のうち、☆の長さをア、のこりの長さをイとします。
すると、「ア、イ、５cm、ア」の組と「１３cm、イ」の組は同じ長さだとわかります。
どちらにもイが入っているのでそれらを打ち消すと、１３ー５＝８　８÷２＝４　より、アが４cmだとわかります。
「ヒモの長さは☆（ア）の１０倍」と書いてあるので、ヒモの長さは　４×１０＝４０(cm)　です。
４０ー５ー１３＝２２(cm)……□２つ分の長さ
よって、□の長さは　２２÷２＝１１(cm)　です。

もんだい６
問題に書いてある４つの式を見ると、９、１６、２５、３６はどれも、３×３、４×４のように、同じ数を２回かけてできる数になっています。
また、式に使われている数を見ると、
● 答えが３×３のとき、３より２小さい１と、３より２大きい５をかけてから、４をたしている
● 答えが４×４のとき、４より２小さい２と、４より２大きい６をかけてから、４をたしている
● 答えが５×５のとき、５より２小さい３と、５より２大きい７をかけてから、４をたしている
● 答えが６×６のとき、６より２小さい４と、６より２大きい８をかけてから、４をたしている
となっていることがわかります。

【とい１】
１００＝１０×１０　です。上のきまりを使うと、
１０より２小さい８と、１０より２大きい１２をかけてから４をたすと１００になることがわかるので、「ある数」は８です。

【とい２】
２０２１に４をたすと２０２５で、見当をつけてしらべてみると、４５×４５＝２０２５　となることがわかります。
ですから、ＡとＢには、４５より２小さい４３と、４５より２大きい４７が入ります。

もんだい７
もし、２人がもらった１円切手のまい数がちがうと、２人の切手の金がくのちがいの一の位が０になりません。
ですから、２人がもらった１円切手のまい数は同じです。
２人が１円切手を２まいずつもらったとすると、のこりの４まいは１００円切手、５０円切手、１０円切手、５円切手が１まいずつとなりますが、それでは１８０円のちがいを作ることはできません。
よって、２人は１円切手を１まいずつもらったことがわかります。

もし、５円切手が１まいしかないとすると、２人がもらった切手の金がくのちがいの一の位が５になってしまいます。
ですから、５円切手は「２人が１まいずつもらった」か「どちらか１人が２まいもらった」ということがわかります。
この２つの場合について、のこりの１０円切手、５０円切手、１００円切手を組み合わせて１８０円のちがいが作れるかどうかを調べます。

とする場合
太郎くんの切手の金がくを大きくするためにのこりの２まいを１００円切手にしたとしても、次郎君ののこりの２まいは１０円切手１まいと５０円切手１まいになるので、１４０円ちがいにしかなりません。
ですから、１８０円ちがいにすることはできません。

とする場合
次郎くんののこり１まいの切手が１０円、太郎くんののこり３まいの切手が５０円２まいと１００円１まいのとき、２０１ー２１＝１８０　となり、１８０円ちがいを作ることができます。

以上より、８まいの切手は下のようになっていたことがわかり、全部で　２０１＋２１＝２２２(円)　となることがわかります。

もんだい８
つつんだときのもようを見ると、赤い線でかこまれている部分がいくつかできることがわかります。
そこで、かこまれている部分ごとに分けて色をつけると考えます。
すると、①～⑧はそれぞれ次のようになります。
　

　

　

これらを見くらべると、②、③、⑤、⑥は同じものがないことは明らかです。
よって、もようが同じになるものは①、④、⑦のうちの２つです。
つぎに、①、④、⑦のもようの青い部分のつきかたを見てみます。
　

すると、面のまん中が青くなっているところは、④と⑦が同じで、①がちがうことがわかります。（面のまん中が緑の部分を見ても、同じつき方になっています）
ですから、④と⑦が同じであることがわかります。

もんだい９
Ａの星は　１２÷４＝３　なので３日で４分の１だけ回り、Ｂの星は　２０÷４＝５　なので５日で４分の１だけまわります。
そのことをつかって、それぞれの星が何日後にどの場所にあるのかをしらべてみます。

２つの図を見くらべてみると、１２日後まででは太陽、Ａ、Ｂが一直線にならぶことがないことがわかります。
１５日後のとき、図の上がわにＡ、下にＢがきて、Ａ、太陽、Ｂが一直線にならびます。
よって、答えは１５日後です。