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ジュニア算数オリンピック トライアル
＜解答＞
問題１ Ａ ３０ Ｂ １７
問題２ ラッキーナンバー：３ １５(６点)＜１３(７点)＜４５(９点）＜３４(１０点)
問題３ ９８cm2
問題４ １月４日，６月１８日，７月１５日，１２月２７日
問題５ 
問題６ ②
問題７ (1) ３ (2) １
問題８ ２回目 ７ ３回目 ２
問題９ ア ２６ イ ３４ ウ ４０
問題10 ＋，３
＜解説＞
問題１
６１１を素因数分解すると、６１１＝１３×４７ となります。
よって、Ａ＋Ｂ＝４７、Ａ－Ｂ＝１３ となるようなＡ、Ｂを求めればよいとわかります。
和差算の考え方を使うことにより、Ａ＝(４７＋１３)÷２＝３０、Ｂ＝(４７－１３)÷２＝１７ と求まります。
問題２
説明のため、次のようにア～ケとします。
まず、ア、イ、キ、クに注目します。
クには９より小さい数、キには５より大きい数が入るので、キには６か７、クには７か８があてはまります。
もし、クが８だとすると、たとえ１やイがラッキーナンバーだったとしても、イにあてはまる数がありません。
もし、クが７だとすると、１がラッキーナンバーでイが５、または、３がラッキーナンバーでイが３であれば作れます。
しかし、１がラッキーナンバーだと、キを６点にすることができません。
よって、イには３があてはまり、ラッキーナンバーが３と決まります。
また、キには６しか入らないことがわかり、アは１と決まります。
次に、ウ、エに注目します。
ウ＋エ＝９ で、９は４＋５でしか作れないので、ウとエには４と５があてはまります（順番は自由）。
（ラッキーナンバーの３を使おうとしても、９－３×２＝３ となって作れません）
残りのカードは２,２,３,４です。このうちの２枚で１０点以上を作るには、ラッキーナンバーの３を使って、３×２＋４＝１０ とする以外にありません。
よって、オとカには３と４があてはまり（順番は自由）、ケは１０と決まります。
問題３
「４５°」が直角の半分であることに着目すると、下図のように線を引くことで、この正方形の対角線の長さが１４cm(＝７＋１＋２＋３＋１)であることがわかります。
よって、正方形の面積は、１４×１４÷２＝９８(cm2) です。
問題４
問題文の下３行からもわかるように、Ａさんの□とＢさんの□にあてはまる数の和は３６５になります。
そこで、２つの平方数の和が３６５になるような場合があるかどうかを調べます。
３６５以下の平方数を小さい方から順にすべて書き出すと、
１，４，９，１６，２５，３６，４９，６４，８１，１００，１２１，１４４，１６９，１９６，２２５，２５６，２８９，３２４，３６１
です。
これらから２つ選んだときの和が３６５となるのは、「４＋３６１」「１６９＋１９６」の２つです。
●Ａさんの□が４のとき
今日の日付は１月４日とわかります。
●Ａさんの□が１６９のとき
１６９＝３１＋２８＋３１＋３０＋３１＋１８ より、今日の日付は６月１８日とわかります。
●Ａさんの□が１９６のとき
１９６＝３１＋２８＋３１＋３０＋３１＋３０＋１５ より、今日の日付は７月１５日とわかります。
●Ａさんの□が３６１のとき
１年があと４日（１２月３１日、３０日、２９日、２８日）残っていることになるので、今日の日付は１２月２７日とわかります。
問題５
次のようにア～コとします。
赤のア＋イ＋ウ＝１１ です。また、青のエ＋キ＋ク＝１８、緑のカ＋ケ＋コ＝１７です。
１～１０の和は、(１＋１０)×１０÷２＝５５ なので、オにあてはまる数が、５５－(１１＋１８＋１７)＝９ とわかります。
イ＋エ＝１３－９＝４ で、４＝１＋３ なので、イとエには１か３があてはまります。
もし、エに１が入ると、キ＋ク＝１７＝７＋１０ となり、クには７か１０があてはまりますが、どちらにしても オ(９)＋ク＋ケ＝１６ なので、ケにあてはまる数がありません。
よって、エ＝３、イ＝１です。
キ＋ク＝１５＝７＋８＝５＋１０ なので、クには５,７,８,１０のいずれかがあてはまります。
ただし、ク＋ケ＝７ なので、クが７,８,１０のときはケにあてはまる数がありません。
よって、ク＝５、キ＝１０、ケ＝２ と決まります。
まだ決まっていない数は４,６,７,８です。
ア＋ウ＝１０ なので、アとウには４と６があてはまり、ウ＋カ＝１１ なので、ウとカには４と７があてはまります。
よって、ア＝６、ウ＝４、カ＝７ と決まり、残りの コ＝８ も決まります。
問題６
まず、この立体Ａがどんな形の立体なのかを考えます。
そのために、３×３×３の立方体と比べてみます。
３×３×３の立方体を上から１だん目、２だん目、３だん目と分けて、それぞれ小さい立方体があるとわかる場所に○、無いとわかる場所に×をつけると下図のようになります。
よって、この立体Ａは下のような立体だとわかります。
次に、白色の立方体と灰色の立方体の場所を考えると下のようになるとわかります。
したがって、この立体を上から見た図は②となります。
問題７
この規則で数を書いていくと次のようになります。
１/２/１３/１２１４/１２１３１２１５/１２１３１２１４１２１３１２１６/……
（１）
２０番目は下線を引いた「３」です。
（２）
上の数列をよく見ると、奇数番目はすべて「１」となっているので、２０２３番目も「１」になりそうだと予想できます。
その予想が正しいかどうかを調べるため、上のように赤線で区切りを作っていきます。
２０２３＝１＋１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６＋５１２＋１０２４－２５
より、２０２３番目の数字は、１２個目の区切りの中の、最後の数字から左に向かってたどって２６番目となることがわかります。
数列の青の部分を見ると、１３,１４,１５,１６,……と増えていくので、その先が２０となるときに「奇数番目がすべて１になる」というきまりがくずれることがわかりますが、１２個目の区切りの中できまりがくずれるのは区切りの最後から２番目だけなので、２０２３番目にはえいきょうが無いことがわかります。
よって、答えは１です。
【参考】
偶数番目が問われたときにどうすればよいかも考えてみます。
この数列は、区切りの良いところで区切ると 【ある数Ａ】/【Ａ＋１】/ となっています。
（例えば１６番目までを前８つと後ろ８つで分けると「１２１３１２１４/１２１３１２１５/」となっている）
よって、Ａの一の位でくり上がらない限り、Ａの一の位以外は前半分も後ろ半分も同じ数列になります。
例えば２０２２番目の数字を求めたいとしたら、
２０２２－１０２４＝９９８ （２０２２番目は、２０４８番までの数列の後ろ半分の中の９９８番目なので、前半分の９９８番目と同じ数字）
９９８－５１２＝４８６ （９９８番目は、１０２４番目までの数列の前半分の４８６番目と同じ数字）
４８６－２５６＝２３０ （４８６番目は、５１２番目までの数列の前半分の２３０番目と同じ数字）
２３０－１２８＝１０２ （２３０番目は、２５６番目までの数列の前半分の１０２番目と同じ数字）
１０２－６４＝３８ （１０２番目は、１２８番目までの数列の前半分の３８番目と同じ数字）
３８－３２＝６ （３８番目は、６４番目までの数列の前半分の６番目と同じ数字）
よって、２０２２番目の数字は６番目の数字と同じで、２だとわかります。
問題８
１～９の和は、(１＋９)×９÷２＝４５ なので、３回目が終わったときのＡさん、Ｂさん、Ｃさんそれぞれのカードの数の合計は、４５÷３＝１５ です。
Ｃさんは「８のカードは渡さなかったよ」と言っていますが、もし、７か９のどちらかも渡していなかったとすると、２枚だけで和が１５以上になってしまいます。
よって、Ｃさんは７と９のカードをＡさんに渡しています。
また、Ｂさんは「９のカードはもらわなかったよ」と言っているので、９のカードは最後にＡさんが持っていたとわかり、９と７の両方を一人で持つと１５をこえるので、７はＢさんにわたしていることがわかります。
ここまででわかったことを図にあらわすと、下のようになります。
Ａさんは最後に９を持っていますが、１回目に９をもらってしまうと「途中で３枚のカードの数の合計が８になったよ」ということがありえなくなりますし、７を持ったままでも３枚の合計が８になることはありえないので、Ａさんは１回目に７をもらって、２回目にその７をＢさんに渡したときに合計が８になったとわかります。
Ａさんのカードに注目すると、１＋２＋３－３＋７－７＋□＝８ より、□＝５ なので、Ａさんは２回目に５をもらったことがわかります。
Ａさんは２回目のやりとりが終わった時点で１,２,５を持っていて、次に９をもらうので、１５－９＝６ より、３回目はＢさんに２を渡したことがわかり、答えが求まりました。
ちなみに、やりとり全体のようすは下のようになります。
問題９
まず、上のように線を引くことで、黄色の部分が４７３６－５６８×２＝３６００(cm2) とわかります。
３６００＝６０×６０なので、アとイの一辺の合計が６０cmであることと、ウの一辺の長さが １００－６０＝４０(cm)であることがわかります。
ア＋イの面積は、６０×４０－５６８＝１８３２(cm2)
もし、アもイも一辺が３０cmだとすると、面積の和は ３０×３０×２＝１８００(cm2) です。
もし、アの一辺が２９cm、イの一辺が３１cmだとすると、面積の和は ２９×２９＋３１×３１＝１８０２(cm2) です。
もし、アの一辺が２８cm、イの一辺が３２cmだとすると、面積の和は ２８×２８＋３２×３２＝１８０４cm2) です。
もし、アの一辺が２７cm、イの一辺が３３cmだとすると、面積の和は ２７×２７＋３３×３３＝１８１８(cm2) です。
もし、アの一辺が２６cm、イの一辺が３４cmだとすると、面積の和は ２６×２６＋３４×３４＝１８３２(cm2) です。
よって、アの一辺は２６cm、イの一辺は３４cmです。
【参考】（調べずにアとイの値を求める方法）
アとイの正方形２つずつを下図のように組み合わせると、一辺６０cmの正方形ができます。
１８３２×２－６０×６０＝６４(cm2) より、図の中央でイが重なってできる正方形の面積は６４cm2なので、上のようにためさなくても、アとイが８cmちがいであることがわかります。
ア＝(６０－８)÷２＝２６(cm) イ＝(６０＋８)÷２＝３４(cm)
問題10
まず、押し忘れた場所によって答えの大きさがどのように変わるかを調べてみます。
★数字を２個押し忘れた場合
たす数が小さくなる場所ができるだけなので、計算結果が正しい答えよりもへることは明らかです。
★「＋」を２個押し忘れた場合
例えば、「１０＋１１」の＋を押し忘れると、その部分が１０１１となります。
このように、＋を１個押し忘れただけでも数がかなり大きく増えるので、＋を２個押し忘れると正しい答えとの差が「３３９」よりも大きくなることは明らかです。
以上より、押し忘れた２個は、「＋」を１個と、その前後にある数のうちの１個であることがわかります。
ここで、その押し忘れた＋の前後を「ＡＢ＋ＣＤ」としてみます。
ちなみに、「ＡＢ＋ＣＤ」は、Ａ×１０＋Ｂ＋Ｃ×１０＋Ｄ と考えることができます。
■「Ａ」と「＋」を押し忘れた場合
ＡＢ＋ＣＤ と ＢＣＤ（＝Ｂ×１００＋Ｃ×１０＋Ｄ） の差は、Ｂ×１００＋Ｃ×１０＋Ｄ－Ａ×１０－Ｂ－Ｃ×１０－Ｄ＝Ｂ×９９－Ａ×１０ です。
Ｂ×９９－Ａ×１０ のＡとＢにどんな１けたの数を入れても、答えを３３９にすることはできません。
■「Ｂ」と「＋」を押し忘れた場合
ＡＢ＋ＣＤ と ＡＣＤ（＝Ａ×１００＋Ｃ×１０＋Ｄ） の差は、Ａ×１００＋Ｃ×１０＋Ｄ－Ａ×１０－Ｂ－Ｃ×１０－Ｄ＝Ａ×９０－Ｂ です。
Ａ×９０－Ｂ のＡとＢにどんな１けたの数を入れても、答えを３３９にすることはできません。
■「Ｃ」と「＋」を押し忘れた場合
ＡＢ＋ＣＤ と ＡＢＤ（＝Ａ×１００＋Ｂ×１０＋Ｄ） の差は、Ａ×１００＋Ｂ×１０＋Ｄ－Ａ×１０－Ｂ－Ｃ×１０－Ｄ＝Ａ×９０＋Ｂ×９－Ｃ×１０ です。
Ａ×９０＋Ｂ×９－Ｃ×１０ のＡが４、Ｂが１、Ｃが３のときに答えを３３９にすることができますが、「ＡＢ」が４１のとき「ＣＤ」は４２でなくてはいけないので、条件に合いません。
■「Ｄ」と「＋」を押し忘れた場合
ＡＢ＋ＣＤ と ＡＢＣ（＝Ａ×１００＋Ｂ×１０＋Ｃ） の差は、Ａ×１００＋Ｂ×１０＋Ｃ－Ａ×１０－Ｂ－Ｃ×１０－Ｄ＝Ａ×９０＋Ｂ×９－Ｃ×９－Ｄ です。
Ａ×９０＋Ｂ×９－Ｃ×９－Ｄ のＡとＣが４、Ｂが２、Ｄが３のときに答えを３３９にすることができ、「ＡＢ」が４２、「ＣＤ」が４３であるとわかります。
以上より、押し忘れたボタンは「＋」と「３」です。
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